ベクトルの問題です！！

質問

一辺の長さが１の正三角形ＡＢＣの外接円Ｒの中心をＯとし、ＡＢ＝ｂ→、ＡＣ＝ｃ→とおく。Ｒ上に任意の点Ｐをとり
ＡＰ＝Ｐ→とする。
（１）ＯＰ＝Ｐ－（1/3）（b→+c→）が成り立つことを証明せよ。
（２）ＰがＲ上を動くとき、Ｐ→＝x(b+c)+√３ｙ（ｃ－ｂ）を満たす点（ｘ、ｙ）の軌跡の方程式を求め曲線の概形を描け。

解答：三角形ＡＢＣを書いて円をつくり、外接円上に点Ｐをおく。
すると、ＯＰ＝ＯＡ＋ＡＰ＝Ｐ－ＡＯ。Ｏは三角形ＡＢＣの重心であるから、ＡＯ＝1/3(AB+AC)=1/3(b+c)
∴OP=P-1/3 (b+c)
質問１：重心は昔三角形ＡＢＣを書いて、Ａを一番上の場所にしてＡＢＣを作り、ＢとＣの中点にＤを置き、ＡとＤの間にＧをおくと、公式はＯＧ＝1/3(OA+OB+OC)だったのですけど、
今回の問題の解答だと、
三角形ＡＢＣの重心であるから、ＡＯ＝1/3(AB+AC)となる理由がわかりませんでした。

（２）解答：正三角形ＡＢＣは一辺の長さが１であるから外接円の半径は1/√３、すなわち｜ＯＰ｜＝1/√３
よって、ＯＰ＝ub+vcのとき、
｜op|｀２＝op・op＝(uv+vc)・(ub+vc)ここで
b・b=|b|｀２＝１ c・c=|c|｀２＝１
b・ｃ＝|b||c|cosΠ/3=1/2を用いると|op|｀２=u'2+uv+v'2=1/3
そこで特に、p=x(b+c)+√3y(c-b)のとき
∴OP→＝(x-√3y-1/3)b+(x+√3y-1/3)c→
この後の解答はわかったので省きます。答えは1/9です。

（２）の質問１：始めのほうに正三角形の外接円の半径は1/√３とありますけど、これはなぜですか？どこから復習したらよいですか？？
｜op|=1/√3がわかりませんでした。
質問2:その次にOP=uv+vcの時と、解答に突然書いてあったのですけど、
ここでいう、uとｖってなんですか？？あとこの式事態なんですか？
突然すぎて理解できません。
質問３：その後の∴OP→＝(x-√3y-1/3)b+(x+√3y-1/3)c→この式の作り方を教えてください。

回答No.1

debut · ベストアンサー

質問１
OG=1/3(OA+OB+OC)のOを動かしてAにもってきて（つまりOをAに書き換える）、GをOに書き換えてみてください。
すると、AO=1/3(AA+AB+AC)となり、AAは0なのでAO=1/3(AB+AC)となります。また、BCの中点をDとすれば、重心の定理からAO:OD=2:1となることと、AD=1/2(AB+AC)となることから、AO=(2/3)AD=(2/3)×(1/2)(AB+AC)と計算しても求められます。

(2)
質問１
三角比でやった、「正弦定理のa/sinA=b/sinB=c/sinC=2R(Rは外接円の半径）」というものを使います。
辺の長さ１の正三角形なので、１/sin60°＝２Ｒ→２/√３＝２Ｒ→Ｒ＝１/√３です。

質問２・３
ｕ，ｖは式を簡単に書くために導入したもののようなので、これに気付かないといってもまったく気にする必要はありません。
(1)で求めた OP=P-1/3(b+c)のPに そのまま x(b+c)+√3y(c-b) を代入して、b,c について整理するだけでいいです。
OP=x(b+c)+√3y(c-b)-1/3(b+c)
=xb+xc+√3yc-√3yb-(1/3)b-(1/3)b
=(x-√3y-1/3)b+(x+√3y-1/3)c
となります。
大事なことは、OP・OP=｜OP｜^2=1/3、b・b,b・c,c・cをうまく利用できるなあ、と気付くことではないでしょうか。

補足

返事遅くなってごめんなさい！！　やっとわかりました！！
重心についても理解できました。返事書いていただいて本当にどうもありがとうございました！！！