• ベストアンサー
  • 困ってます

ベクトルの問題

Oを原点とする座標平面状の4点P1,P2,P3,P4で、条件 OP(n-1)ベクトル+OP(n+1)ベクトル=(3/2)OPnベクトル (n=2,3)…(a) を満たすものを考える。このとき、以下の問いに答えよ。 (1)P1,P2が曲線xy=1上にあるとき、P3はこの曲線上にはないことを示せ。 (2)P1,P2,P3が円周x^2+y^2=1上にあるとき、P4もこの円周上にあることを示せ。 これに対する解答ですが、Pn(xn,yn)とおいて(a)から x(n-1)+x(n+1)=(3/2)xnとyに関しても同様の式を得て、 P1,P2が曲線xy=1上にあるからx1・y1=1かつx2・y2=1が言えるとして さらに(a)がn=2のときの式からx1とx2を消して x3・y3=(13/4)-(3/2)(y1/y2+y2/y1)を得て、 y1とy2が同符号のとき相加相乗平均より、y1/y2+y2/y1≧2 x3・y3≦(1/4)<1 さらにy1とy2が異符号のときy1/y2+y2/y1<0 x3・y3=1+(9/4)-(3/2)(y1/y2+y2/y1)>1 となり、P3はxy=1上にない と言えますか? また(2)も同様に式を使って(x4)^2+(y4)^2=1を得て示すのは解答として問題あるでしょうか?

共感・応援の気持ちを伝えよう!

質問者が選んだベストアンサー

  • ベストアンサー
  • 回答No.2
  • ka1234
  • ベストアンサー率51% (42/82)

こんにちは。 正しい解答だと思います。無駄の無い答案の書き方、相加相乗の適切な使い方など、 実力者ですね。 別解を示してみます。記号は、applEgate さんと同じです。 [解答] (1)背理法で示す。3点P1, P2, P3 が曲線 xy=1 上にあるものとして矛盾を導く。 P1+P3=(3/2)P2 より、(x3, y3)=(1/2)(3x2-2x1, 3y2-2y1) となる。 x1・y1=1, x2・y2=1 より、 x3・y3=(1/4)(13-6(x1/x2+x2/x1))=1 x1/x2=t とおいて整理すると、2t^2-3t+2=0 ・・・(ア) 2次方程式(ア)の判別式は、9-16<0 となるので、 (ア)は実数解を持たない。 すなわち、P1, P2 が曲線上にあるとき、P3 は曲線上には存在しない。 (証明終わり)

共感・感謝の気持ちを伝えよう!

質問者からのお礼

どうもありがとうございます^o^ 実力者なんて…! テレます。 xy=1 上にあるものとして、判別式で矛盾を示すなんておもしろいですね。しかもx1/x2=tのようにわかりやすく改めて文字を置き直すなんて。 こういう問題は知識によって答え方の幅が広がりますね。

その他の回答 (2)

  • 回答No.3

大よそ、文字の表す意味は判ると思うので。 数式の羅列で判り難く成ってしまいました。 出来るだけ、説明を加えたいと思います。 誤植はないとは思いますが、全てPC上で叩いたので。 条件より、 p1+p3=(3/2)p2  #1 p2+p4=(3/2)p3  #2 (1) x1y1x2y2≠0 (これは割り算が無条件でOKと言う意味です。) 成分で表現して、 p1=(x1,y1),,,x1y1=1,,,x1=1/y1 p2=(x2,y2),,,x2y2=1,,,x2=1/y2 #1を変形して、 p3=(3/2)p2-p1 成分に変換して、 (x3,y3)=((3/2)x2,(3/2)y2)-(x1,y1) x成分とy成分に分けて、 x3=(3/2)x2-x1 y3=(3/2)y2-y1 辺々を掛けて、 x3y3=(9/4)x2y2+x1y1-(3/2)(x2y1+x1y2) x3y3=1 が成立するとして、矛盾が起きれば終了と。 1=(9/4)+1-(3/2)(x2y1+x1y2) 0=(9/4)-(3/2)(x2y1+x1y2) 0=3-2(x2y1+x1y2) x2y1+x1y2=3/2  (ここまで変形して置きます。) x2とx1を消去して、 (y1/y2)+(y2/y1)=3/2 (この式に矛盾が起きればOKと。)    <場合わけ、> y1,y2>0 の時は、相加相乗より、    (y1/y2)+(y2/y1)≧2 となって矛盾。 y1,y2<0 の時は、相加相乗を使用できるように変形して、    (-y1/y2)+(-y2/y1)≧2    (y1/y2)+(y2/y1)≦-2 となって矛盾。 y1y2<0 異符号の時は    (y1/y2)<0    (y2/y1)<0    (y1/y2)+(y2/y1)<0 となって矛盾。 *最後の3行のみが、質問です。 *異符号の時は、相加相乗を(使わない)のが要点です。 ,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,, 質問文の方式とは、異なります。 (2) 円の特性を利用して、parameterT1,T2,T3,T4を使用します。 (x^2)+(y^2)=1 ((cosT)^2)+((sinT)^2)=1 ((cosT1)^2)+((sinT1)^2)=1 ((cosT2)^2)+((sinT2)^2)=1 ((cosT3)^2)+((sinT3)^2)=1 <目標の式は ((cosT4)^2)+((sinT4)^2)=1 > これが成立すれば終了ですが、式変形が遠回りになっているような、 気がします。 #1を再記載して、 p1+p3=(3/2)p2 x成分とy成分に分けて、 cosT1+cosT3=(3/2)cosT2 sinT1+sinT3=(3/2)sinT2 後に使用する形も書いて置きます。 cosT3={(3/2)cosT2-cosT1}  #3 sinT3={(3/2)sinT2-sinT1}   #4 両辺を二乗して、辺々を加えますが、(計算は若干短縮です。) 1=(13/4)-3{cosT2cosT1+sinT2sinT1} 3{cosT2cosT1+sinT2sinT1}=(9/4)  #7 (これを最後に使います。) #2を再記載して、 p2+p4=(3/2)p3 x成分とy成分に分けて、 cosT2+cosT4=(3/2)cosT3 sinT2+sinT4=(3/2)sinT3 cosT4={(3/2)cosT3-cosT2} #5 sinT4={(3/2)sinT3-sinT2}  #6 P=((cosT4)^2)+((sinT4)^2)  #5と#6を代入して、 ={{(3/2)cosT3-cosT2}^2+{{(3/2)sinT3-sinT2}^2}   <計算は短縮しているので、確認して下さい> =(13/4)-3{cosT3cosT2+sinT3sinT2}   <#3と#4を代入して> =(13/4)-3{{(3/2)cosT2-cosT1}cosT2+3{(3/2)sinT2-sinT1}sinT2}   <計算は短縮します。> =(13/4)-(18/4)+3{cosT1cosT2+sinT1sinT2}   <#7を代入して> =(13/4)-(18/4)+(9/4) =1 となって、完了です。

共感・感謝の気持ちを伝えよう!

質問者からのお礼

どうもありがとうございます^o^ 時間はかかりましたが、わかりました。負のものにマイナスをかけてプラスに考えることができるんですね。(1)も(2)もいろんな考え方が勉強になりました!

  • 回答No.1

解答として何の問題もないと思います。 (2)に関しても、(x4)^2+(y4)^2=1を示せば、解答として適切だと思います。

共感・感謝の気持ちを伝えよう!

質問者からのお礼

どうもありがとうございます^o^ 模範解答がひとつだけ載っていたのですが別のやり方だったので。

関連するQ&A

  • ベクトル 内積

    座標原点Oを中心に半径rの円がある。円周上に2点P(x1, x2), Q(x2, y2)がある。 x1x2 + y1y2 = 0であるとき,内積OP・PQを求めよ。 解答をよろしくおねがいします。

  • 三角形 角度が同じ

    角度が等しくなる。ことがわからないので質問します。 Oを原点とするxy平面の第1象限にOP1=1を満たす点P1(x1,y1)をとる。このとき、線分OP1とx軸のなす角をθ(0<θ<π/2)とする。点(0,x1)を中心とする半径x1の円と、線分OP1との交点をP2(x2,y2)(x2>0)とする。次に、点(0,x2)を中心とする半径x2の円と線分OP1との交点をP3(x3,y3)(x3>0)とする。以下同様にして、点Pn(xn,yn)(xn>0)(n=1,2,・・・・)を定める。 (1)x2をθを用いて表せ 解答には、添付した画像のような図がのっているのですが、点(0,x1)を点Bとし、点Bから線分OP1におろした垂線の足をHとして、∠OBH=∠P2BH=θになることがわかりません。三角形OP1x1と三角形OBH,三角形P2BHが相似になっているかと思たのですが、相似の条件がわかりません。角がθになる理由は、円周角や接弦定理ではないと思うのです。どなたか∠OBH=∠P2BH=θとなる理由を教えてください。

  • ベクトルの問題です

    半径1の球Sが原点0でxy平面に接しているとき、原点0の直径対点をNとする。球面Sと平面y-z=0との切り口の上に点P(x、y、z)を取り、直線NPがxy平面と交わる点をQとする。点Pが切り口上を動く時、点Qはxy平面上でどのような図形を描くか? 解答 P(x、y、z)Q(X,Y,Z)とおくと、Pは直線上の点であるからx=y+1=z-1.。。。。(A) PQ→は平面の法線ベクトルであるから (X-x、Y-y、Z-z)=k(1.1.-1)。。。(B) PQの中点( (X+x)/2 (Y+y)/2 (Z+z)/2 ) が平面上にあるから (X+x)/2 + (Y+y) /2 ー (Z+z) /2 = 0 ∴X+Y-Z+x+y-z=0 。。。。(C) (A)(B)(C)からxyzkを消去すればよい。 XYZをxyzに書き換えて、 x=y+1=(z+7)/5 質問です! まず(A)の部分で、Pは直線状の点。これは、切り口上の上を歩くのでわかるのですが、どうしてその式がx=y+1=z-1となるのですか? 二つ目は、PQ→は平面の法線ベクトルなので X-xとかY-yとするのはわかるのですが、なぜK(1,1.-1) となるのですか?Kは公式についてたとおもいますが、 そのなかの1,1、-1という部分が不明です。 もしかしたら、なにか、直径1の円という話で、x軸1、y軸1、z軸1というのに関係するのですか??? 質問3は、どうして、PQの中点が出てきたのですか? これで問題が解けるという発想がわかりませんでした。理由はなんですか?? あと、 X+x/2 +Y+y/2 ーZ+z/2 =0 という右辺の0というのと、なぜzの部分だけ、マイナスと符号が変わっているのですか?? どなたか教えてください。 あと数学は関係式を作れば問題は解答まで導けると学びました、 関係を式で表した時点で、問題がとけるとまなびました。 こんかい、中点の関係を引き出した理由がよくわかりませんでした。 そして文字を消去という流れになったので、どなたか詳しく教えてください!!お願いします!!!>_<!!!

  • ベクトルの問題です!!

    一辺の長さが1の正三角形ABCの外接円Rの中心をOとし、AB=b→、AC=c→とおく。R上に任意の点Pをとり AP=P→とする。 (1)OP=P-(1/3)(b→+c→)が成り立つことを証明せよ。 (2)PがR上を動くとき、P→=x(b+c)+√3y(c-b)を満たす点(x、y)の軌跡の方程式を求め曲線の概形を描け。 解答:三角形ABCを書いて円をつくり、外接円上に点Pをおく。 すると、OP=OA+AP=P-AO。Oは三角形ABCの重心であるから、AO=1/3(AB+AC)=1/3(b+c) ∴OP=P-1/3 (b+c) 質問1:重心は昔三角形ABCを書いて、Aを一番上の場所にしてABCを作り、BとCの中点にDを置き、AとDの間にGをおくと、公式はOG=1/3(OA+OB+OC)だったのですけど、 今回の問題の解答だと、 三角形ABCの重心であるから、AO=1/3(AB+AC)となる理由がわかりませんでした。 (2)解答:正三角形ABCは一辺の長さが1であるから外接円の半径は1/√3、すなわち|OP|=1/√3 よって、OP=ub+vcのとき、 |op|`2=op・op=(uv+vc)・(ub+vc)ここで b・b=|b|`2=1 c・c=|c|`2=1 b・c=|b||c|cosΠ/3=1/2を用いると|op|`2=u'2+uv+v'2=1/3 そこで特に、p=x(b+c)+√3y(c-b)のとき ∴OP→=(x-√3y-1/3)b+(x+√3y-1/3)c→ この後の解答はわかったので省きます。答えは1/9です。 (2)の質問1:始めのほうに正三角形の外接円の半径は1/√3とありますけど、これはなぜですか?どこから復習したらよいですか?? |op|=1/√3がわかりませんでした。 質問2:その次にOP=uv+vcの時と、解答に突然書いてあったのですけど、 ここでいう、uとvってなんですか??あとこの式事態なんですか? 突然すぎて理解できません。 質問3:その後の∴OP→=(x-√3y-1/3)b+(x+√3y-1/3)c→この式の作り方を教えてください。

  • ベクトルの問題で分らないのがあるので教えてください

    ※a→は「aベクトル」という意味です。 (1)△OABがあります。点Pが次のベクトル方程式を満たすとき、点Pの描く図形を求めてください。ただし、OA→=a→、OB→=b→、OP→=p→とします。(途中式もお願いします。) (1)|2p→-a→-b→|=4 (2)(p→-a→)・(p→-b→)=0 (2)空間内に4点A(0、1、2)、B(1、0、-1)、C(-1、1、4)、D(x、y、z)があります。 4点A、B、C、Dが同一平面上にあるとき、x、y、zの関係式を求めてください。(途中式もお願いします。) ちなみに答えは、 (1)(1)線分ABの中点を中心とする半径2の円 (2)線分ABを直径とする円 (2)2x-y+z-1=0 です。

  • お願いします!数学です!

    真夜中にどうもこんばんわ 毎日勉強頑張ってますが高一の私には少しキツイ問題がいくつかありまして… 考えていたらこんな時間になってしまいましたっ ですので、回答解説お願いします…! Oを原点とするxy平面の第1象限にOP1=1を満たす点P1(x1,y1)をとる。このとき線分OP1とx軸とのなす角をθ(0<θ<π/2)とする。点(0,x1)を中心とする半径x1の円と、線分OP1との交点をP2(x2,y2)(x2>0)とする。 次に点(0,x2)を中心とする半径x2の円と、線分OP1との交点をP3(x3,y3)(x3>0)とする。 以下同様にして、点Pn(xn,yn)(xn>0)と定める。 (1)x2,xnをそれぞれθを用いて表せ。 (2)θ≠π/4のとき、lim[n→∞]Σ[k=1,n]xkを求めよ。 (3)(2)で得られた値をf(θ)とおくとき、lim[θ→π/4+0]f(θ)およびlim[θ→π/2-0]f(θ)を求め、f(θ)=1を満たすθが区間π/4<θ<π/2の中に少なくとも1つであることを示せ。

  • ベクトルの問題です。

    どちらかわかる方でも結構です。散々考えたんですが、だめでした。解答はわかるので解法を教えてください。宜しくお願いします。 (1)2つのベクトルx、yが、2xーy=(0,4)、2|x|=|y|、x・y=6を満たすとき、x、yを求めよ。 解答 x=(2,1) y=(4,ー2); x=(ー2,1) y=(ー4、ー2) (2)次の条件を満たす2つのベクトルa、bのなす角θを求めよ。 |a|=4, |2a-b|=7, (a+b)(b-3a)=-43 文字にはベクトルの→が付いています。

  • ベクトル場について

    ベクトル場が  (1) v(x,y)=yi-xj  (2) v(x,y)=-yi+xj    (vはベクトル、i,j は単位ベクトルです) で与えられているとき、(1)と(2)は同じベクトル場を表しているのでしょうか。 (2)のベクトル場は xy平面内で|v|=r  r ; 原点からの距離        vの向き ; 半径rの円周に沿って、反時計まわりの向き            θ ; vとy軸とのなす角 とすると v=(-rsinθ,rcosθ)     sinθ=y/r , cosθ=x/r    ∴v(x,y)=(-y,x) より              (2)のベクトル場は原点を中心とした円の円周方向を反時計まわりに向いたベクトルの集まりである事はわかりますが、 教科書では(1)のベクトル場も同じく原点を中心とした円の円周方向を反時計まわりに向いたベクトルの集まりとなると書いて図示してあります。 なぜ(1)のベクトル場がそのようになるのか教えて下さい。 (2)のx成分=-y ∴y=-x よって(2)のx成分=yとすると (2)のy成分=-x となり、結局これは(1)式である。という事でよいのでしょうか? (1)と(2)の発散はどちらも0となる事より同じベクトル場を表しているようにおもわれるのですが…。

  • ベクトルの問題です 67

    次の直線の方程式を媒介変数tを用いてあらわせ。 (1)p0(4.3)をとおり、方向べくとる(-1,3) (2)P1(-4,-1) P2(6.4) (3)点(-1,3)を通り、直線y=2x-4に垂直。 ⇔(1)は (x,y)=(4.3)t(-1,3)となりました。 x=x1+tl y=y1+tm の公式よりそのまま書きました。 (2)はP1P2 =t(l.m)と学んだので、 p2-p1をして、t(10.5)より x=-4+10t、y=-1+5tとしました。 しかしこの問題のこたえは x=-4+2t、y=-1+tとなってました。 t(10.5)と求まった時に、5t(2,1)として、2.1だけ抜き出したのでしょうか?またそうしても問題ないのでしょうか??理由はどうしてですか?? (3) 点(-1,3)を通るというので x=-1+。。。 y=3+。。。と式がなるのは解るのですが、どのようにしたらよいのかわかりませんでした。理由は、y=2x-4という形ですのでわかりませんでした。 y=2x-4をどのようにしたら、媒介変数表示に変えられるのでしょうか? 今までは、P1、P2と座標が決められていて、 P2-P1で式が求まって、t(l。m)が求まり この式と、例えば今の問題(3)のー1,3を通る式をつくるとしたら、 x=-1+l y=3+mと成っていたのですが 今回はy=2x-4という式なのでわかりませんでした。 また、垂直というところの意味は多分 y=2x-4をもし変形できたら、 たぶんa・b=0というベクトルの垂直関係を使うと考えましたけど。。アイディアが浮かばず、垂直関係まで持っていく事ができませんでした。 だれか教えてください、宜しくお願いします>_<

  • 対称行列の固有ベクトル

    対称行列の固有ベクトルは互いに垂直という性質がありますが、 固有ベクトル AX1=λ1 X1、 AX2=λ2 X2 の式から n次の対称行列Aは次のように書き表すことができます A= λ1 X1 X1^t +λ2 X2 X2^t+ ・・・ +λn Xn Xn^t なぜ固有ベクトルの式から対称行列の式が表すことができるのでしょうか? 証明を教えてください。よろしくお願いします。