一次関数について

質問

この間、家庭教師で一次関数をしたのですが、うまく説明できないところがありました。

一次関数ｙ＝2x+3で、xの値が1から4まで増加したときの
(1)xの増加量、(2)yの増加量、(3)変化の割合　を求めよ。
という問題では、
(1)４-１＝３　(2)（２*４+３)-(２*１+３)＝６　
(3)変化の割合＝yの増加量/xの増加量＝６/３＝２　　となります。

次に、y＝２x+３で、xの増加量が4であるとき、yの増加量を求めよ。
という問題では、yの増加量は、yの増加量＝変化の割合＊xの増加量という公式で、y＝２*４＝８となります。

上の問題では、yの増加量を出すとき、２*４+３とか、２*１+３と、
切片の３を足していますが、下の問題では、yの増加量＝変化の割合＊xの増加量という公式を使って出し、切片の3は足していません。
生徒に、なぜ同じようにyの増加量を求めるのに、解き方が違うのか？（下の問題では3を足さないのか？）と聞かれました。
自分では、ただ単にyの増加量を求める問題のときは、yがどれだけ変化するかを求めたいだけで、切片は関係ない。と考えているのですが、
相手にわかるように、どう言葉で説明したらいいのかわかりません。

どういった説明をしたらいいのか教えてください。お願いします。

回答No.5

cupparman

(1)がわからない生徒はいないでしょう。
　(3)を公式を使って計算させるのは、関数の式が与えられている本問の場合は不適切だと考えるのですがいかがでしょうか。教科書にもｘの前の数字が変化の割合を表すと書いてあります。変化の割合の公式は、逆に、一次関数の式を求めるときに使うものです。
　(2)のとき方ですが、本質に沿ったとき方ではないような気がします。確かに2つのyの値の差をとればでるのですが、一次関数の本質すなわち、「変化の割合が一定であるため、ｘの増加量とｙの増加量は比例する。」を用いて求めるべき問題です。
　この問題を文章問題で考えてみると以下のようになります。
　水そうにすでに３リットルの水が入っている。これに毎分２リットルの水を加えていったときｘ分後の水の量をｙリットルとする。
　この場合、変化の割合は、ｘが１増加したときのｙの増加量であり、２です。また切片は、ｘ＝０のときのｙの値、すなわち最初の水の量３です。すぐにｙ＝２ｘ＋３という式は見つかり、変化の割合を計算する必要などないのです。

　このｘとｙの変化の様子を想像してみてください。最初の水の量、切片がいくつであれ、結局毎分２リットルずつ水が入っているので、ｘが１増加すれば（1分たてば）ｙは２増加するわけで、ｘが２増加すれば、ｙは４増加しています。これは何分後から何分後まででも同じでしょう。

　お分かりですか、ｘの増加量とｙの増加量が比例していることをわからせることが最大の狙いなのです。

　本問では、ｙの値をいちいち求めて引き算するやり方は、間違いでしょう。ｘの増加量が１のときｙの増加量は２である。ｘの増加量が３だから、ｙの増加量は２×３＝６とするのが一次関数を理解するうえで正しい解き方なのです。

　この考えが正しいことは、以下のように問題を変えてみればわかります。
　　ｘが987654321から987654324まで増加したとき

いかがでしょうか。これもいちいち、２つのｙの値を求めて引き算しますか？

３年生になれば、２乗に比例する関数を習います。これは、質問者のとき方でなければ中学生は解くことができません。
　もちろん、この関数の変化の割合用一発公式もありますが、あくまでそれは、塾の教える反則技です。