テイラー展開によるオイラーの公式の導出

質問

たびたびすみません

e^(ix),sin x,cosxをそれぞれテイラー展開して
e^(ix) = 1 + ix - x^2/2! - ix^3/3! + x^4/4! + ix^5/5! + …
　　　 =(1 - x^2/2! + x^4/4! …)+i*(x - x^3/3! + x^5/5! …)

cos x= 1 - x^2/2! + x^4/4! - …
sin x= x - x^3/3! + x^5/5! - …より
e^(ix)=cos x + i*sin x

ですよね。
そこで気になったのがe^(ix)の1行目から2行目に移る式なのですが。足し算引き算が無限に続く式では安易に各項を入れ替えてはいけないと聞きました。ですが、今回は入れ替えていますよね。
虚数iでくくる場合には入れ替えてもいいのでしょうか？　それとも他に何か規則があるのですか？
よろしくお願いします。

回答No.2

ringohatimitu · ベストアンサー

1 + ix - x^2/2! - ix^3/3! + x^4/4! + ix^5/5! + …という級数は絶対収束（各項の絶対値をとった級数が収束）するので和の順番を好きなように入れ替えることができます。条件収束（絶対収束はしないがその級数自体は収束）の場合（例えば1-1/2+1/3-...のような場合）は順番を適当に変えることによってどんな値にも収束させることができるので注意が必要です。

回答No.1

whitedingo

この場合は０を中心としたテイラー展開ですので、０付近（収束半径内）では右側はある値に収束するはずです。なので、計算の順番をかえれるのだと思います。