空間ベクトルの問題です。

質問

空間内の原点Ｏを中心とする半径１の球面をＳとする。同一平面上にないＳ上の相異なる４点Ａ1、Ａ2、Ａ3、Ａ4がベクトルa1＝ＯＡ1、a2＝ＯＡ2、a3＝ＯＡ3、a4＝ＯＡ4とおくとき、ベクトルa1＋a2＋a3＋a4＝０を満たしているとする。
（１）で内積a1・a2＝a3・a4、a2・a3＝a1・a4の証明をしました。
（２）で四面体Ａ1Ａ2Ａ3Ａ4の４つの面が合同であることを証明しました。

ここからがわからないのですが、

（３）△Ａ1Ａ2Ａ3の面積をt＝a1・a2、u＝a1・a3（内積）を用いて表せ。

（４）ベクトルa1=a2=a3=a4=0かつt=uを満たすようにA1,A2,A3,A4を動かすとき、四面体A1A2A3A4の表面積が最大のものは正四面体であることを示せ。

という問題です。読みにくいですがどなたかよろしくお願いします。

回答No.2

magmi-shi · ベストアンサー

(3)　A1A2とA1A3のなす角をθとすると，
　　　△A1A2A3＝0.5×A1A2×A1A3×sinθ
で，
　　　A1A2＝|a2-a1|＝√2√(1-t)…(1)
　　　A1A3＝|a3-a1|＝√2√(1-u)…(2)
また，ベクトルの内積を考えて（↓の左辺はベクトル，右辺はスカラーです）
　　　A1A2・A1A3＝A1A2×A1A3×cosθ
ここで，左辺は
　　　(a2-a1)・(a3-a1)＝a2・a3-a1・a2-a1・a3+a1・a1＝-2(t+u)
　　　（a1+a2+a3+a4=0からa2・a3＝-1-a1・a2-a1・a3）
なので，
　　　cosθ＝-(t+u)/√(1-t)(1-u)
ここからsinθを計算して最初の式に代入すれば，
　　　△A1A2A3＝√(1-t-u-tu-t^2-u^2)

(4)　t＝uを上の式に代入して√の中身を平方完成すると△A1A2A3の面積が最大になるのはt＝u＝-1/3のときとわかります。よって，cosθ＝1/2となり，A1A2＝A1A3と合わせて△A1A2A3は正三角形になります。他の面も合同なので結局正四面体のときに表面積が最大になります。

お礼

回答ありがとうございます。a1+a2+a3+a4=0の間違いでした。

回答No.3

noname#20644

（3）今の場合、△ABCの面積は、ベクトルa1からa4までのベクトルの成す平行六面体の体積、|(a2-a1)(a3-a1)(a4-a1)| を、△ABCに直交する (a2-a1)×(a3-a1)の単位ベクトルとベクトル(a4-a1)の単位ベクトルの成す方向余弦で割り、1/2倍すれば求められます。
既にされていたであろうように、ベクトルa4の成分をa1からa3のベクトル成分で表わし、a1・a2、a1・a3をそれぞれ t、uとおきます。
（4）題意が不明です。

お礼

回答ありがとうございます。a1+a2+a3+a4=0の間違いでした。

回答No.1

at06

(3)三角形の面積公式を使えば解けます。
一般に、△ＡＢＣ＝(1/2)√(|AB|^2|AC|^2-(AB・AC)^2)
これを使えば、
△A1A2A3 = (1/2)√(|A1A2|^2|A1A3|^2-(A1A2・A1A3)^2)
これを上手くt,uの式に変更するだけですね。
計算すると △A1A2A3 = √((1-t)(1-u)-(t+u)^2) となります（多分）

(4)a1=a2=a3=a4=0はありえないので、a1=a2=a3=a4としてかんがえます。
まず、四面体の表面積は(3)の4倍ですね。
t=uですから、表面積は 4√(-3t^2-2t+1) となります。
これの最大のときに△A1A2A3が正三角形になっていることを示せばいいと思います。
参考までに、表面積の最大値は (8/3)√3 (t=-1/3のとき)
△A1A2A3の一辺の長さは (2/3)√6　となります。

お礼

回答ありがとうございます。a1+a2+a3+a4=0の間違いでした。