円に内接する3角形の性質について

質問

円に内接する3角形をランダムに一つ選び、その辺をa,b,cとすると、
a:b+cの値の平均値は何になるのでしょうか？

ご回答いただければ幸いです。
宜しくお願いいたします。

回答No.10

siegmund

siegmund です．

No.8 の回答で，最後の「直感的理由」のところ，ちょっと間違えました．
前の(8)(10)で
(13)　　CA/(AB+BC) = sin(θ+φ) / {sinθ+sinφ}
　　　　= cos[(θ+φ)/2] / cos[(φ-θ)/2]
でした．
したがって，分母がゼロに近くなって危ないのは
(φ-θ)/2 = ±π/2，すなわち
(14)　　φ=θ±π
付近です

　　　φ 　×
　　　│ ×
　　π│
　　×│＼
　×　│＊＼　　　　　　　図５
×　　│＊＊＼
　　　│＊＊＊＼　　　×
　　　│＊＊＊＊＼　×
　　　└───────θ
　　０　　　　　×　π
　　　　　　　×

図５では危ない線を×で表しました．
積分領域は＊ですから，積分領域の端の「点」のところで危ないことがわかります．

一方，(13)の逆数の比では，
分母がゼロに近くなって危ないのは
(φ+θ)/2 = ±π/2，すなわち
(14)　　φ=-θ±π
付近です
φ=-θ+πはちょうど積分領域の端の「線」にあたります(図６)．

　　　φ
　　　│
　　π│
　　　│×
　　　│＊×　　　　　　　図６
　　　│＊＊×
　　　│＊＊＊×　　　
　　　│＊＊＊＊×　
　　　└───────θ
　　０　　　　　　　π

すなわち，図５，図６の２次元平面で，CA/(AB+BC) が危ないのは点(０次元)周辺
(BC+CA)/AB が危ないのは線(１次元)の周辺ということになります．
つまり，危ない領域の割合が決定的に違います．
これが，有限値にとどまったり(危ない領域が小さい)，
発散したり(危ない領域が大きい)の違いの原因です．

なお，もっと前にもどるのなら，
CA/(AB+BC) が危ないのは２辺が同時にゼロに近いときであるのに対し，
(BC+CA)/AB では１辺だけゼロで既にもう危ないですね．
こちらの方がわかりやすいですか．

tgb さんの No.9 に対する蛇足です．
1/√x ですと，関数値は x=0 で発散ですが，積分値は収束しますね．
c>0 として，x^(-c)がの積分値が x=0 付近で発散するかどうかは c の値で決まります．
境界は c=1 で，c≧1 なら発散，c<1 なら収束です．

それから，この類の発散には次元性が効いてきます．
原点からの距離を r として，d 次元でしたら r^(d-1) に比例する体積要素がつきますので，
d 次元では c の境界値が d-1 だけずれます．
すなわち，c≧d なら発散，c<d なら収束です．