円に内接する3角形の性質について

質問

円に内接する3角形をランダムに一つ選び、その辺をa,b,cとすると、
a:b+cの値の平均値は何になるのでしょうか？

ご回答いただければ幸いです。
宜しくお願いいたします。

回答No.6

naoppe

ちょっと考えてみたのでまた書かせてもらいますね。

まず円を書きその円周上に点Ａを決めます。
その点Ａを通る直径となる線を引き、中心をＯ、もう一つの円との交点をＰとします。
Ａを出発して右回り側の半周上にＢ、左回り側にＣを取ると三角形ＡＢＣが決まります。
Ｂ、ＣがそれぞれＡからＰまでの半周上しか動かなくても、ＡＢＣは全ての三角形の形を表すことができ、『ランダム』を満たすことができると思います。

角ＰＡＢをＸとすると角ＡＢＰが直角のため、辺ＡＢの長さは２ＲｃｏｓＸとなります。
このときＸは　０≦Ｘ≦π／２　です。（Ｘ＝π／２の時はＡとＢが一致して三角形になりませんが）

２ＲｃｏｓＸを積分してＸの範囲を与えてやると２Ｒとなります。
この２Ｒを角度の範囲π／２で割ればそれぞれの角度のＡＢの長さの平均が出ます。

２Ｒ÷π／２＝４Ｒ／π　となり、これはＡＢ、ＢＣ、ＣＡの全ての辺に当てはまる平均の長さだと思います。
そしてこれはtgbさんの回答と一致します。

比の場合だとやはり変数が二つあり、３次元となって平均を求めることができないと思います。
一辺を決めれば求めることができますけど。

もう２０年も積分などの計算をしたことがなく全く忘れていましたが、適当にやったらｔｇｂさんの回答と一致してしまったので、もしや合ってるかもと思ってまた書き込ませて頂きました。
デタラメかも知れませんのでその時にはご容赦を。

補足

ご回答ありがとうございます。
確かに、シンプルな方法で、tgbさんと同じ値を出されていて
感心いたしました。

気になるところは、各辺の平均の値を先に求めてから、
(b+c)-a　や、 (b+c)/a を求めると、本来求めたい、
「(b+c)-a　の平均」や、 「(b+c)/a　の平均」と違ってしまう場合があることですね。

ということは、やはりtgbさんの方法のように、sの積分による平均値の
求め方を実施しないといけないような気がします。

また、「比の場合だとやはり変数が二つあり、３次元となって
平均を求めることができないと思います。」
というのは、tgbさんの方法を使えば平均は求まると思います。

私もすっかり忘れていた積分の話などを、
必死で思い出そうと悪戦苦闘しております。
皆様にはお付き合い頂き、大変感謝しております。