ベクトルの問題で、解答の意味がわかりません＞＿＜

質問

平面上の０→でない二つの異なるベクトルa→,ｂ→に対して、
f（a,b）＝ｂー { (2a・ｂ)/(a・a)} ×a と置く。
a→とb→の大きさ（長さ）が等しく、かつ
ｆ（a→、b→）＝ｆ（ｂ→、a→）が成り立つ時
a→とb→のなす角をもとめよ。

この問題の解答の意味がわかりませんでした。
質問１：|a→|=|b→|＝ｒと置いたのはわかったのですけど、そのあと、どうしてa・a=b・b=r＾２となったのでしょうか？|a|=a・aなのは、ベクトルの最初の方で習ったのですが、ｒまでもが二乗になぜなれたのですか？
単純に｜@|=@・@に変化するのはしってるのですが。。
あと、その後の計算で、a・b=r＾cosΘの式は
どうやって前の式から変化したらこのようになるのですか？？

質問２f(a.b)=f(b.a)から
b-2cosΘ・a=a-2cosΘ・bにどうしてなるのですか？
ちょっと教科書の答えはいつも飛ばしますので＞＿＜わかりませんでした。
誰か教えてください、よろしくおねがいします！！

解答
f(a.b)の形のすごさにまどわされず、角は内積でもとめる。｜a|=|b|=rとおいて、f(a,b)=f(b.a)をrとcosΘで表す。
｜a|=|b|=rとし、a,bのなす角をΘ
（０°≦Θ≦１８０°）とすると
a・a=b・b=r＾２　a・b=r＾２cosΘ
f(a.b)＝(b,a)から,
b→ー2cosΘ・a→＝a→ー2cosΘ・b→
∴（１＋２cosΘ）（ｂ→ーａ→）＝０→

ａ→≠ｂ→であるから１＋２cosΘ=0
Θ＝１２０°

回答No.1

hisa-gi · ベストアンサー

＞質問1
a・a ＝ |a||a|cos0 ＝ r^2 だからです。
|a|=a・a は間違いですね。正しくは
|a|^2=a・a でしょう。

a・b=r^2cosθ はどうやって、じゃなくて「定義」です。
内積の定義 a・b=|a||b|cosθ を分かってますか？

＞質問2
f(a,b) ＝ b-{(2a・b)/(a・a)}×a
＝ b-(2r^2cosθ/r^2)×a
＝ b-2cosθ×a
同様に
f(b,a) ＝ a-2cosθ×b
したがって
b-2cosθ×a ＝ a-2cosθ×b

お礼

やっとわかりました。cos@=a・a/|a||a|
⇒ |a||a|cos@=a・a ⇒ aとaベクトルの角度は０度より。|a||a|cos0°＝a・a
∴a・a=|a||a|
⇒|a|=|b|=rとおいて ⇒a・a=b・b=r｀2 これにより、題意の式を解答のように変換して、答えが求まる。。
少し時間がかかりましたけど、a・a/|a||a|=cos@　について調べてなかったので、わかりませんでした＞＿＜　返事書いていただいてどうもありがとうございました。