ポアンカレ予想の簡単な説明

質問

ポアンカレ予想の3次元について解いたというニュースがあり、新聞を読んだのですがいまいち問題の内容が分かりませんでした。

『単連結な 3 次元閉多様体は 3 次元球面 S3 に同相である』

とあるのですがちょっと意味が分かりません。
理系大学1年生に分かるように説明できる方お願いします。

あと、2次元の証明は自明と書かれていたのでその理由も分かればお願いします。

回答No.2

proto · ベストアンサー

閉じた曲面・閉曲面は、開いていずに内外を分ける曲面であればよいので、球以外でも直方体やドーナツ型、ラグビーボール型やもっと複雑なものも考えられます。

その面をゴムのシートを伸び縮みさせるように変形するのです。
角を真っ直ぐに伸ばしてしまうのもありです。
ただし１つの面をハサミで切り離したり、逆に２つの面を貼り合わせたりする変形は考えません。

閉曲線は仰るとおり輪っかになった曲線です。始まりと終わりの点が同じだったら閉曲線になります。

それを１点に収束させるとは、例えば半径rの円を考えたときr→0の極限を考えると円は一つの小さな点になってしまいますよね。そのようなことが可能かどうか
と言う問題です。
もしrを小さくしていく際になにか突っ掛かるようなものがあって、それ以上rを小さくできなければ１点に収束させることは出来ないということになります。

このような閉曲線の変形を与えられた閉曲面上で行うのです。そのとき１点に収束させることが出来れば単連結な曲面と呼びます。
例えば地球儀を考えると赤道線は閉曲面ですね、そこからどんどん緯度を上げるようにして曲線を小さくしていくと、北極点で円は１点に収束します。だから地球の形つまり球は単連結と呼べます。
しかしドーナツ型を考えましょうドーナツの穴に輪を通したような閉曲線を考えると、その曲線はどこかで切ったりしない限りドーナツの太さよりも小さくすることは出来ません。ですからドーナツ型は単連結とは呼べないのです。

最後に今回の定理は、先ほど説明した単連結な閉曲面はその面を伸ばしたり縮めたりする変形だけで(面を切ったり貼ったりすることなく)球と同じ形に出来る。ということです。
ゴム風船が立方体やラグビーボール型や球形に変形する様子を想像したらわかりやすいかな？
ドーナツ型の風船は一度切らない限り、真ん丸な球の形にはなりません。

かなり、直感的で厳密でない説明ですが、これ以上のことは専門家に聞いてください。

お礼

ありがとうございます。
すごく具体的な説明で分かりやすかったです。

回答No.1

proto

3次元上に閉じた曲面があったとします。
伸び縮みするゴムで出来たような曲面を考えてください。
その中でも単連結であるものについては、面を切ったり貼ったりすることなく変形することで球と同じ形に出来る。ということです。

ここで単連結とは、曲面上に張り付いている任意の閉曲線を(切ったり貼ったりすることなく)連続的に変形させることで1点に収束させることが出来る。ということです。
もっと直感的に言うと曲面に張り付いている輪ゴムを切らずに取り外せるということです。
たとえば穴の開いたドーナツのような曲面なら、穴に通ってしまっている輪ゴムは一度切らないとはずせないので、ドーナツ型は単連結ではありません。

お礼

回答ありがとうございます。

閉じた曲面とは球と違うのでしょうか？
面を変形するという意味が分かりません。

閉曲線とは何でしょう？
閉曲面が閉じた面と考えるならば閉曲線は輪の事でしょうか？
だとすると輪が1点に収束する結合という事になってしまうので意味が分かりません。

追加で説明をお願いします。