仮釈放を申請した３人の囚人 Ａ，Ｂ，Ｃ がいて

質問

仮釈放を申請した３人の囚人 Ａ，Ｂ，Ｃ がいて、Ａは看守から「Ａ，Ｂ，Ｃ の３人のうち、２人にだけ許可が下りた。」
と知らされたが、「その中に君(Ａ)が含まれているのかについては、
釈放当日まで教えられない。」と告げられた。

そこで、Ａは「自分自身に関することでなかったならば、尋ねても差し支えあるまい。」
と考え、「Ｂ，Ｃ のうちでいいから、釈放される囚人を１人だけ教えて貰えまいか？」と看守に頼んだ。

看守はその要求を受け入れ、「Ｂは釈放される。」とＡに教えた。

これを聞いたＡは「しまった！馬鹿なことしてしまった。 "Ｂは釈放される"ということを教えて貰う前は、俺が釈放される確率は 2/3 だったのに、"Ｂは釈放される"
ということを知ってしまった今、釈放される残りの１人は、俺(Ａ)かＣかのどちらか一方なのだから、俺の釈放される確率は 1/2 に減ってしまった！」と悔やんだ。

Ａのこの判断は正しいのでしょうか？

回答No.2

ringohatimitu · ベストアンサー

確率という言葉に騙されないようにしましょう。何が事象でどの事象の集まりを全体と捉えているかをしっかり決めなくてはなりません。それによっては正しくもあり間違ってもいるわけです。
正しくないとする理由（この理由が確率論などでポピュラーなのかもしれませんが）を以下に説明してみます。
この場合まず最初考えられる事象はABが釈放(ABと表す)、ACが釈放(ACと表す)、BCが釈放(BCと表す)という３つです。さらに問題を読んでいくと事象はそれだけではないことがわかります。すなわち「看守がBが釈放されると言う」事象(Mと表す)、「看守がCが釈放されると言う」事象(Nと表す)も含められているわけです。さらに確率という数字の配分は以下のように設定（暗黙のうちに）されているわけです：

P(AB)=P(BC)=P(AC)=1/3
P(AB∩M)=1/3, P(AB∩N)=0, P(BC∩M)=1/6,
P(BC∩N)=1/6, P(AC∩M)=0, P(AC∩N)=1/3

問題となっている確率というのはまず全体空間として
AB∩M, BC∩M, AC∩Mの３つの事象からなる空間をとるわけです（確率と言うからには全体の確率を１になるようにリスケールしてやる必要があります）。この事象の中からAを含んでいるものを取り出して全体のうちの割合が求める確率になります。実際計算すれば各々の事象の確率（初めの空間における）は1/3,1/6,0で与えられていて1/3という数字の"全体"（この３つ事象からなる空間）から見た割合は2/3となるわけです。更にこの流れでいけばCが釈放される確率は1/3に減っているとも言えます。

お礼

ありがとうございます。じっくり読ませていただきました。
確率ものは、感覚的にずれがあって、難しいけどおもしろいですね。

回答No.1

sat4

これは「３人囚人問題」という条件付の確率を求める問題ですね。
解説はここを参照したらいいと思います。↓
http://www3.atwiki.jp/cloud9science/pages/42.html

お礼

ありがとうございます。じっくり読ませていただきました。
確率ものは、感覚的にずれがあって、難しいけどおもしろいですね。