続き、楕円作図ありがとうございました。、次は三角錐の高さ壁面の隣接面角度？

質問

大工です、過去に立て看板で底面の一辺が60cm（正三角形）高さが180ｃｍの看板（木工）を製作いたしました。苦労して現場材料あわせでした。
底面と壁面の角度？
各壁面同士の角度？
超簡単な式、はないですか？

その当時京大の土木卒業の友人に聞きましたが・・結構ややこしいといわれました。
お盆休みの方に、よろしく。

回答No.3

noname#20644

底面の正三角形の頂点から下ろした垂線の長さは、
60・cos30°=60・(√3)/2 =30√3 であることはすぐ分かる。
その垂線の足は、底辺から1/3 のところ、10√3の重心に落ちる。

ベクトルを V(X, Y, Z) というように書くことにする。
底面の一辺をx軸上、頂点のy、及びz座標が正となるように置いた時、
底面の式は、z=0・x+0・ｙ であるので、
外向き法線ベクトルは、V(0, 0, -1)。
x軸上に一辺を置く壁面の外向き法線ベクトルは残りの二辺の稜線の
ベクトル積（右手系をとる）、
V(30, 10/√3, 180)×V(-30, 10/√3, 180) から、
V(0, -2・180・30, 2・30・10/√3)
=600・V(0, -18, 1/√3)
となる。
これら外向き法線のなす角は、底面と壁面の成す角の補角である。
これをθとすると、底面と壁面の成す角は、180-θ°である。

V(0, 0, -1)・{600・V(0, -18, 1/√3)}
=|V(0, 0, -1)|・|600・V(0, -18, 1/√3)|・cosθ
∴ cosθ=(-1/√3)/(5/√13)=(-√13)/(5√3)≒-0.416
従って、面と壁面の成す角は、180°-arccos(-0.416)≒65.4°

次に、右隣の壁面の法線ベクトルを求める。
二辺の稜線ベクトルは、
V(-30, 10/√3, 180) と、V(0, -20/√3, 180) であるので
やはり右手系を採用すれば、ベクトル積は、
V(180・10/√3+180・20/√3, 30・180, 30・20/√3)
=600・V(9√3, 9, 1/√3)
前の壁面の外向き法線ベクトルと、今求めた外向き法線ベクトルのなす角は
隣り合う壁面の成す角の補角で、これをψとする。

{600・V(0, -18, 1/√3)}・{600・V(9√3, 9, 1/√3)}
=|600・V(0, -18, 1/√3)|・|600・V(9√3, 9, 1/√3)|・cosψ
cosψ=(-18・9+1/3)/{√(18^2+1/3)}/{√(81・3+81+1/3)}
=(-485/3)/√(973/3)/√(973/3)=(-485/3)/(973/3)≒-0.498
故に隣り合う壁面の成す角は、180°-arccos(-0.498)≒60.1°である。

回答No.2

debut

Ｎｏ１です。
三角形の等しい２辺の方を、板面に対して30度の角度といいましたが、
（冷静に考えてみれば、30度は三角柱のときでした）高さ180cmの場合は、
それよりちょっとだけ大きく(１度に満たないくらい)なるようです。
また、一般的にする場合も当然三角錐の高さによって変わると思うので、
もう一度ゆっくり考えなおしてみます。
ということで、接合面の角度は保留しておいてください。

回答No.1

debut

二等辺三角形の板を３枚合わせて三角錐を作った、もうちょっと正確に
いえば、底面が60cmの正三角形で高さ180cmの三角錐の中身を板の厚さ
を残してくりぬいた形と解釈して回答します。

板１枚は、底辺が60cm、残りの２辺40√21(約183.3)の二等辺三角形
底面と板面との角度はtan(その角)=180/(10√3)=18/√3=18√3/3=6√3
から、角度=84.5036・・・で、およそ84.5度、三角形の板どうしの接合面
はそれぞれが板面に対して30度の角度になっていればよい。
まとめると、二等辺三角形の板を、底辺部分を板面に対して84.5度の
角度になるように削り、残り２辺は壁面に対して30度の角度になるよう
に削ればいいことになります。が、一番上の部分(頂点)はこのままでは
板の厚さにもよりますが、ぴたりと接合できないので、頂点から底辺
に引いた線に対して5.5度の角度になるように削ります。

一般的にすると、底面が１辺ａの正三角形で，高さがｈの三角錐を
板で作るとき、
１．板は底辺ａ、他の２辺は√{h^2+(3/4)a^2}
２．底辺部分は板面に対してtan(角度)＝2h√3/aになるような(角度)
　　で削る
３．等しい２辺部分は板面に対して30度になるように削る
４．頂点部分は、頂点から底辺に引いた垂線に対して90-(２．の角度)
　　　の角度で削る
※２．の角度は、関数電卓で、三角関数のtanの逆関数で計算します
　例えばwindowsを使っているならば、「アクセサリー」にある電卓で
　表示－関数電卓、にして、2h√3/aの値を打ち込んでから、Invに
　チェックを入れ、tanボタンを押せば角度が出ます。

となりましたがどうでしょうか。最初の解釈が違っていたらだめだけど。

お礼

頂いた式を元に、確実な知識とするためしばらく時間がかかりそうです。お待ちを・・・