２直線のなす角

質問

平面（２次元）上に次の２直線
y = ax + b
y = cx + d
があるとき
tanθ = |(a-c)/(1+ac)|
として角を求めますが、
立体（３次元）上に次の２直線
z = ax + by + c
z = dx + ey + f
があるときの２直線のなす角の公式は
どうなりますか？解答お願いします。

回答No.5

noname#20644 · ベストアンサー

点(X,Y)の位置ベクトルをV(X,Y)と書く事にします。
平面（２次元）上の２直線
y = ax + b を、a・x+(-1)・y+b=0 とし、原点を通るように平行移動させると a・x+(-1)・y=0 となります。
これをベクトルの内積、{a・V(1,0)-1・V(0,1)}・{x・V(1,0)+y・V(0,1)}=0 と表わすと、
この直線が V(a,-1) と直交することを示しています。
同様に、二番目の式の示す直線は、V(c,-1) と直交することを示しています。
従って、V(a,-1) と V(c,-1) は、それぞれ二つの直線に直交するベクトルです。
従って、二つの直線の成す角θを、0≦θ＜π とすると、θはこれら直交ベクトルの成す角でもあります。
このとき、V(a,-1)・V(c,-1)=|V(a,-1)|・|V(c,-1)|・cosθ として、θが求まります。

これと同じ手法を、三次元にも適用してみます。
z = ax + by + c
z = dx + ey + f
両平面を原点を通るようにz軸に沿って平行移動させ、
a・x+b・y+(-1)・ｚ=0 および d・x+e・y+(-1)・ｚ=0 とし、
ベクトルの内積、
{a・V(1,0,0)+b・V(0,1,0)-1・V(0,0,1)}・{x・V(1,0,0)+y・V(0,1,0)+z・V(0,0,1)}=0 および
{d・V(1,0,0)+e・V(0,1,0)-1・V(0,0,1)}・{x・V(1,0,0)+y・V(0,1,0)+z・V(0,0,1)}=0 と表わす。
これら二つの平面に直交する法線ベクトルは、V(a,b,-1) と V(d,e,-1) で、二平面の成す角、θを 0≦θ＜π とすると、θはこれら直交ベクトルの成す角でもあるので
V(a,b,-1)・V(d,e,-1)=|V(a,b,-1)|・|V(d,e,-1)|・cosθ

その後の計算はちょっと面倒ですが、続けます。
cosθ=(ad+be+1)/√{(a^2+b^2+1)・(d^2+e^2+1)}
sinθ=√{1-(cosθ)^2}
√内は、{(a^2+b^2+1)・(d^2+e^2+1)-(ad+be+1)^2}/{(a^2+b^2+1)・(d^2+e^2+1)}
={(a+d)^2+(b+c)^2+(ae+bd)^2}/{(a^2+b^2+1)・(d^2+e^2+1)}

従って、tanθ=√{(a+d)^2+(b+c)^2+(ae+bd)^2}/(ad+be+1) となります。

回答No.4

yanasawa

交わっていなくても「なす角」というんでしょうか。

回答No.3

sak_sak

＞原点とある点Ａ(a1,a2,a3)を結んだ直線と、原点と
＞ある点Ｂ(b1,b2,b3)を結んだ直線のなす角なので
厳密には直線でなく、線分です。

直線のなす角度が60°というのと120°というのは同じことになりますが、
No.2に書かれている補足では区別されることになります。
直線用の式にしたいなら、分子に絶対値をつけるべきです。

回答No.2

noname#47050

空間座標において、点(x0,y0,z0)を通りベクトル(a,b,c)に平行な直線の式
x-x0=ka
y-y0=kb
z-z0=kc　（k：任意の実数）

で表されるので、２本の直線のなす角はベクトル
(a1,b1,c1),(a2,b2,c2)
の成す角を求めることになります。＃１の最後の一文の方法で計算出来ます。

お礼

回答ありがとうございます。自分が今考えているのは
原点とある点Ａ(a1,a2,a3)を結んだ直線と、原点と
ある点Ｂ(b1,b2,b3)を結んだ直線のなす角なので

cosθ=(a1b1+a2b2+a3b3)/(√(a1^2+a2^2+a3^2)√(b1^2+b2^2+b3^2))

ということですよね？間違えていましたら指摘してください。

回答No.1

okyum

＞z = ax + by + c
＞z = dx + ey + f
これは、直線の式ではなく、平面の式です。
交わる2平面のなす角は、二つの平面の法線ベクトルのなす角に等しいです。
ベクトルのなす角は、内積とベクトルの長さを計算すれば、内積の定義式より求まります。

お礼

回答ありがとうございます。確かにこれでは平面の
式ですね。
自分が言いたかったのは３次元空間の中に２直線が
存在したらそのなす角というのはどういった公式で
求めるのかということでした。申し訳ございません。
これについてわかりましたらよろしくお願いします。