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2直線の交点を通る直線について
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L1とL2の交点P(x1、y1)では ax1+by1+c=0、dx1+ey1+f=0が成り立ちます よって、ある定数i、jをおくと i(ax+by+c)+j(dx+ey+f)=0が成り立ち(∵どのようにi、jを置いてもax1+by1+c=0、dx1+ey1+f=0なので成り立つ) これは任意のi、jを置くことで交点Pを通るすべての直線を表すことができます i≠0の時 i(ax+by+c)+j(dx+ey+f)=0の両辺をiで割って (ax+by+c)+(j/i)(dx+ey+f)=0となり、j/i=kと置けば今回の式になります i=0の時 j(dx+ey+f)=0→dx+ey+f=0(j=0だと、0=0になるので) となり、これはL2の式と同一つまり、L2自身を示していることになります ちょっと適当な説明ですが、こんな感じでお分かりになりましたでしょうか
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- arrysthmia
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(2) については、 No.3 よりも No.1 を参考にしたほうが吉いと思います。 i (ax+by+c) + j (dx+ey+f) = 0 の i, j の由来ですが、 このように考えてはどうでしょう? L1 と L2 の交点を (p,q) と置くと、この点を通って 方向ベクトルが ↑n である直線は、 (x,y) = t ↑n + (p,q), t は実数値をとる媒介変数 と表示できます。 L1 の方向ベクトル (b,-a) と L2 の方向ベクトル (e,-d) が一次独立(平行でない)であれば、 この二つを使って ↑n = i (b,-a) + j (e,-d) と表す i, j が在ります。 (x,y) = t { i (b,-a) + j (e,-d) } + (p,q) から t を消去して x, y の方程式にすると、 i (ax+by-ap-bq) + j (dx+ey-dp-eq) = 0 となります。 L1, L2 の式を使って p, q を消去すれば、 i (ax+by+c) + j (dx+ey+f) = 0 です。 このようにすれば、i, j (そして j / i である k も) の意味や、 i, j が同時に 0 にはできない理由などが、図で浮かぶのでは ないでしょうか。
- Mr_Holland
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>『L1:ax+by+c=0 L2:dx+ey+f=0として、L1とL2の交点を通る直線はax+by+c+k(dx+ey+f)=0 (k:定数)、またはL2自身で表現できる』 この記述の後半にある「または」は「かつ」の誤りではないでしょうか。 前半の「L1:ax+by+c=0 L2:dx+ey+f=0」は、変数kを用いて、次のkについての恒等式と同値変形できます。 ax+by+c+k(dx+ey+f)=0 ・・・・ ☆ http://www.kwansei.ac.jp/hs/z90010/sugakua/kotosiki/kotosiki.htm つまり、式☆は、任意のkで成り立つ式です。 いま、2つの直線L1とL2が平行でなく、かつ一致もしなければ(つまり、交点が必ずあるということ; a:b≠d:e)、式☆は、2つのkの値(k1、k2)を選んでも同値関係は崩れません。 さて、与えられた命題の後半ですが、「ax+by+c+k(dx+ey+f)=0 (k:定数)」と書かれていますので、ここではkの値は1つだけ(k1)を設定することを考えているようです。 しかし、これだでけではもう1つのkの値がないので、同値関係が崩れてしまいます。 そこで、別の付加条件が必要になるのですが、それが「<かつ>L2自身」つまり「<かつ>L2:dx+ey+f=0」という条件を追加したわけです。 付加条件として「L2:dx+ey+f=0」を選んだ理由は、k1は何を選んでも良いのですが、もしk1=0を選んだ場合、直線L2の情報が消されてしまいます。それを防ぐために「L2:dx+ey+f=0」を付加条件として追加したのだと思います。 なお、上記のことは、#1さんのように2変数iとjを使って考えが方が分かりやすいかもしれません。 「L1:ax+by+c=0 かつ L2:dx+ey+f=0」 ⇔任意のi、jについて、i(ax+by+c)+j(dx+ey+f)=0が成り立つ。 ⇔2組のある(i,j)の組み合わせ(ただし、比i:jは異なる)について、i(ax+by+c)+j(dx+ey+f)=0が成り立つ。 ⇔i:j=1:kとなる(i,j)と、i=0となる(i,j)について、i(ax+by+c)+j(dx+ey+f)=0が成り立つ。 ⇔(ax+by+c)+k(dx+ey+f)=0 かつ dx+ey+f=0 が成り立つ。 そのため、ご質問については、次のような回答になります。 (1) kは、恒等式:ax+by+c+k(dx+ey+f)=0 の変数です。 (2) 『またはL2自身』とは、『<かつ>L2自身』の誤りだと思います。 また、『L2自身』とは L2:dx+ey+f=0 のことです。
- mister_moonlight
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所謂、直線束の知識の事。 ax+by+c=0とdx+ey+f=0が交点を持つなら、kにいろんな実数値を与える事により、(ax+by+c)+k(dx+ey+f)=0 ‥‥(1) は、その2直線の交点を通る直線群を表す。 但し、(予備校の講座は正しくないが)、(1)は直線:dx+ey+f=0自身を表す事は出来ない。 もし、dx+ey+f=0自身も表すようにしたいならば、m*(ax+by+c)+k*(dx+ey+f)=0 (mとkは任意の実数で、同時には0にならない)としなければならない。 (例) 2直線:7x+5y+3=0と6x+11y-4=0 の交点を通る直線の中で、直線:6x+11y=0に平行なものを求めよ。 これを予備校の講座のように処理しようとしたら、解けない。 正解:6x+11y-4=0
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