- 締切済み
フーリエ変換の性質の時間微分について
http://ufcpp.net/study/dsp/fourier.html#differential のフーリエ変換の時間微分において 計算途中の f(t)exp(－iωt)dt でt→±∞ の極限をとると当たり前のように０となっていますが、 何故０になるのかわかりません。 考えてもわからず、気になって仕方がありません。 教えてもらえませんか？お願いします。
- hiphopyut
- お礼率90% (19/21)
- 数学・算数
- 回答数1
- ありがとう数3
- みんなの回答 （1）
- 専門家の回答
みんなの回答
- atomicmolecule
- ベストアンサー率56% (55/98)
フーリエ変換したい関数を一つイメージして、例えばexp(-t^2)を考えましょう。すると lim_{t->±∞｝[exp(-t^2) exp(iwt)]＝０ となりますね。つまりフーリエ変換の積分が∞遠点で積分が収束するような関数を考えたら、exp(iwt)をかけてｔ＝±∞でゼロになるべきだという事です。そうでなければそもそもフーリエ変換が定義できませんから。
関連するQ&A
- フーリエ変換について
f(t)=1 (|t|<1) 0.5 (|t|=1) 0 (|t|>1) のフーリエ変換を求めよ、という問題です。 |t|>1ではF(ω)=0に、 |t|<1ではF(ω)=-1/iω(exp(-iω)-exp(iω)) になるだろうと考えたのですが、 |t|=1の時どう考えたらいいのかわかりません。 使用している参考書にはこのようなピンポイントでのフーリエ変換については記述がありませんでした。どなたか知恵を拝借できればと存じます。よろしくお願いします。
- ベストアンサー
- 数学・算数
- フーリエ変換がよくわかりません。
フーリエ積分の勉強を始めたばかりで、まだ慣れずどうやればいいのかわかりません。 とても初歩的なことだと思いますがお願いします。 f(x)=exp(-x^2/2) のフーリエ変換を求めたいのですが、 F（f(x)）=1/√2π∫（-∞～∞）exp(x^2/2+iωx)dx としてからの変換がわかりません。 その際 ∫（-∞～∞）exp(-αx^2)dx=√π/α を用いれます。 フーリエ変換というより積分計算かもしれないのですが、教えてください。
- ベストアンサー
- 数学・算数
- フーリエ変換について
フーリエ変換について 次の信号（三角波）をフーリエ変換したいのですが、 ｆ（ｔ）＝-ｔ+2，0≦ｔ≦2 ｔ+2，-2≦ｔ<0 解答では、 Ｆ（ω）＝2∫（0⇢2）（-ｔ+2）ｃｏｓωｔｄｔを計算することとなっていました。 フーリエ変換の定義式では Ｆ（ω）＝2∫（0⇢2）（-ｔ+2）ｅ＾（-ｊωｔ）ｄｔとなっているため、何故上記の式となったのかが分かりません。 途中式を書いていただけると幸いです。
- ベストアンサー
- 数学・算数
- フーリエ変換逆変換
h(t)のフーリエ変換をH(ω)とし、フーリエ変換逆変換の定義は以下を用いるとする。 H(ω)=∫[-∞ to ∞]h(t)exp(-iωt)dt h(t)=(1/2π)∫[-∞ to ∞]H(ω)exp(iωt)dω h(t)=(1/2π)∫[-∞ to ∞]H(ω)exp(iωt)dω =(1/2π)∫[-∞ to ∞]∫[-∞ to ∞]h(t)exp(-iωt)dt*exp(iωt)dω という風にHを代入し、逆変換でもとのhに戻ることを示そうとしたのですが、部分分数展開もうまくいかず、手詰まりとなってしまいました。 どの様にすればもとの式に治せるのでしょうか？
- ベストアンサー
- 数学・算数
- フーリエ変換
「高校数学で分かるフーリエ変換」という本（ブルーバックス）内の記述に関する質問です。 当方は初学者ですので，とんちんかんな質問があると思いますが，よろしくお願いします。 質問の前提となる記述は次のとおりです。 ある振動数ｆの電界の波がE（ｆ）のサイン波なので，Ｅ（ｆ）＝ｅｘｐ（－ａ（ｆ－ｆ0）＾２ × ｓｉｎ（－ωｔ） このサイン波を全振動数に関して足すと（積分すると）時間軸上の電界パルスＥ（ｆ）ができる。 Ｅ（ｔ）＝∫（ｅｘｐ（－ａ（ｆ－ｆ0）＾２ × ｓｉｎ（－ωｔ））ｄｆ ＝∫（ｅｘｐ（－ａ（ｆ－ｆ0）＾２ × Ｉｍ[ｅｘｐ（－ｉωｔ）]）ｄｆ 最終的に，Ｅ（ｔ）とＥ（ｆ）の関係がフーリエ変換になっている。 質問です。 １ 本を読む限り，「ある関数ｆ（ｔ）をフーリエ変換する場合，ｅｘｐ（－ｉωｔ）をかけて，時間で積分する。」と理解できるのですが，上記の式は，ｅｘｐ（－ｉωｔ）をかけて，時間で積分した形跡がないのにどうしてフーリエ変換したことになるのでしょうか。 ２ 振動数の関数を時間の関数にするために，Ｆ（ｔ）＝∫ｇ（ｆ）ｅｘｐ（ｉωｔ）ｄｆをフーリエ逆変換との記述を見たことがありますが，正しいでしょうか。正しいとするなら，１はフーリエ逆変換なのでしょうか。 （式の前に１／２πなどが付くことがありますが，省略しています。） ３ Ｅ（ｔ）＝∫（ｅｘｐ（－ａ（ｆ－ｆ0）＾２ × ｓｉｎ（－ωｔ））ｄｆ ＝∫（ｅｘｐ（－ａ（ｆ－ｆ0）＾２ × Ｉｍ[ｅｘｐ（－ｉωｔ）]）ｄｆ ｓｉｎ（－ωｔ）ｄｆ＝Ｉｍ[－ωｔ] この意味が分かりません。Imは複素数の虚部を表しているとは思うのですが・・・。 以上，要領を得ない質問ですがよろしくお願いいたします。
- ベストアンサー
- 物理学
- exp(-π(t^2))のフーリエ変換の積分計算で
f(t)=exp(-π(t^2))のフーリエ変換の積分計算でつまずいています。 ∫(-∞->∞)f(t)*exp(-iωt)dt で、exp(-iωt)をオイラーの公式でcosとsinの式に直し、偶関数、奇関数の性質からsinの項が消え、 2∫(0->∞)exp(-π(t^2))*cos(ωt)dtとなりました。 しかし、eの指数部分のt^2が厄介で積分ができません。 積分方法、または別解がありましたらご教授いただけると幸いです。
- ベストアンサー
- 数学・算数
- フーリエ変換で突然、微分方程式
フーリエ変換の本を読んでいると、いきなり微分方程式の話が出てきて「代入すれば確かめられる」とあるのですが、「何を」「どこに」代入するか書かれていないので、行き詰っています。因みに、微分方程式は以前に勉強したのですが、あまり覚えてないです…。 まずは原文を引用します： （注意：以下のF[0]は「Fの右下に0を付けた添え字」です。） 理工学でしばしば使われる、 f(t)=e^(-βt^2) （βは正の実数） …の関数のフーリエ変換F(k)を求めてみよう。 まず、フーリエ変換の定義より、 F(k)=∫[-∞,∞]e^(-βt^2)・e^(-ikt)dt と表せる。この式をkで微分すると dF(k)/dk = ∫[-∞,∞] (δ/δk) {e^(-βt^2)・e^(-ikt)} dt を得る。 ここで、 d/dt [ { e^(-βt^2) }/(-2β) ] = te^(-βt^2) を使って部分積分を行うと、 dF(k)/dk = -(k/2β) * F(k) （式6.39） となる。 ここで、 t→±∞ で e^(-βt^2)・e^(-ikt)→0 となることを使った。 ↓質問部分 （式6.39）はF(k)についての微分方程式と考えることができて、その解は F(k) = F[0]*e^{ -(k^2)/(4β) } であることが、代入すれば確かめられる。ここでF[0]はkに依存しない数であり、F[0]=F(0)である。 ・・・以上、引用終わり。 つまり、 dF(k)/dk = -(k/2β) * F(k) をF(k)について解いていくと F(k) = F[0]*e^{ -(k^2)/(4β) } になるんですね、きっと。 その手順が教えて下さい。お願いします。
- ベストアンサー
- 数学・算数
- 【フーリエ展開】発散しない理由
関数f(t)のフーリエ変換をF(t)とします。 g(t)=df(t)/dt のとき g(t)のフーリエ変換G(t)をF(t)で表せ、との問題です。 G(t)=∫[-∞,∞] df(t)/dt exp(-iwt) dt の積分を行って計算しようとしました。 そこで、[f(t) exp(-iwt)][-∞,∞]+iw∫[-∞,∞] df(t)/dt exp(-iwt) dt となり、[f(t) exp(-iwt)][-∞,∞]=0より G(t)=iwF(w)と答えを出したいのですが、 [f(t) exp(-iwt)][-∞,∞]=0となることが理解できずに 困っています。この値は発散しませんでしょうか？ 数学に詳しい方が居られましたら どうぞよろしくお願い致します。
- ベストアンサー
- 数学・算数
お礼
回答ありがとうございました。なんとなくわかったような気がします。