線形代数：内積・最大値

質問

n次元実ベクトルp,q、n×n実行列U、に対し
写像p→p・Uqを考えるのですが、qを与えられたベクトルと見ます。で、この写像が最大値を取るのは、p=(0,…,0,1,0,…,0)のような単位ベクトルにおいてである、ということを示したいのですが、これは何故いえるのですか？

それと、p≠qなる全てのpについてp・Uq＜q・Uqが成り立つようなqは単位ベクトルである、ということも示したいのですが、どのようにして示すことができるのでしょうか？

教えていただけると嬉しいです。よろしくお願いいたします。

回答No.2

sparetime · ベストアンサー

ウェブで数学記号使いまくると見難いので言葉だけ、雰囲気だけ伝えます。

1) まず2次元で考えます。Uq=(a, b)とおきます。すると内積pUqは、
pの成分和が1なので、aとbの重み付き平均ということになります。
「重み付き平均」はいろんな分野で出てきますので、知らなければ調べて覚えておくことをお勧めします。
aとbの重み付き平均が最大になるのはいつか？ a>bなら、a 100%の時が最大です。100%とは1のことです。
つまりp=(1,0)の時が最大。a<bなら(0,1)の時が最大。
これで2次元の場合は解けた。

次元が大きくなっても、内積はベクトルUqの成分の重み付き平均なので、最大のところを100%にするのが最大。
つまりp=(0,…,0,1,0,…,0)。つまり単位ベクトル。
証明終わり。

2) qが単位ベクトルでない、つまり「どこかの成分100%」でない、つまり中途半端だとすると、
pとして、Uqの最大成分のところを100%にするようなベクトル、つまり単位ベクトルを持ってくれば、qUqよりpUqを大きくすることができます。
矛盾。
証明終わり。

お礼

感動しましたw。スッキリ解決です。
とても明快なご回答ありがとうございました！

回答No.1

sparetime

1) 何か条件が抜けてません？ だってp=(0,…,0,2,0,…,0) にしたら値が２倍になって、更に大きくなりますよ（正なら）。

2)もそうですが、行列Uについても、何か条件はないのですか？例えばUがゼロ行列だったら、1) も 2) も成り立ちませんよ。
あとUqという形で常に出てくるなら、q'等とおいてしまうべきだし。

出題文を見返すことをお勧め。

お礼

すみませんとんでもなくうっかりしてました(-_-;)ご指摘いただいてありがとう御座います。

p,qについての条件がすっぽり抜けていました。
p=(p1,p2,…,pN)とあらわすとき、∀iについてpi≧0であって、Σpi=1です。qについても同じです。