lim[x→0](a^x-b^x)/x の値が出せません…

質問

x=log t と置換してみたりしたのですが、どうも答えが出ません。
０になってしまいます。Pcで数値計算してみたら０にはなりませんでした。

解ける方、教えていただけませんか？
a,b∈R（実数）です。

回答No.2

noname#20377 · ベストアンサー

ヒントだけ。答えは言わない。

f(x) = a^x
f'(x)=lim(Δx→0) {a^(x+Δx)-a^x}/{(x+Δx)-x}
今ここで改めて
xを0に、Δxをxに置き換える(上記とは別に定義しなおす)

f'(0)
=lim(x→0) {a^(0+x)-a^0}/(0+x)-0}
=lim(x→0) (a^x - 1)/x　と書ける。

さて問題文は

lim(x→0) (a^x-b^x)/xだがこれは

(a^x - 1)/x - (b^x - 1)/x　であるから

お礼

もう答え同然じゃないですか！（嬉
ANo.3にも書きましたが、無事にloga-logbが出てきました！
こんなに懇切丁寧にしてくださってありがとうございます。

回答No.4

nitoro

もし、ロピタルの定理を使ってもいいのなら
分母と分子を微分してやれば、数秒で終わります。

お礼

条件を付けるの忘れていましたorz
”大学一年生前期辺り”が条件なのでロピタルとテイラー展開使っちゃいけないのです～orz

回答No.3

yoikagari

問題の式lim[x→0](a^x-b^x)/xは
lim[x→0](a^x-b^x)/x＝lim[x→0](a^x-1)/x－lim[x→0](b^x-1)/x
と変形できますよね。
何か見えてきませんか？

あとは、指数関数a^xの導関数は(a^x)'=a^xではなくて(a^x)'=loga*a^xですよ。
(e^xの導関数は(e^x)'=e^xですけど)

以上を踏まえて、もう一度計算し直すしてください。

お礼

微分の定義式を使うのですね～！見逃していましたorz
という事はlogaとlogbが残ってloga-logbになるのですね！
ありがとうございました！！

回答No.1

atomicmolecule

何かが小さい時にはテイラー展開を使うのが常套手段です。

a^x=1+xlog(a)+ x^2 log(a)^2/2!+....

を使ってやってみたらどうでしょうか。

お礼

上にも書きましたが、
”大学一年生前期辺り”が条件なのでロピタルとテイラー展開使っちゃいけないのです～orz
回答ありがとうございました～！