エルミート

質問

量子力学の演習問題をやっていたのですがつかえてしまったので質問させてください。

ix∂/∂y
この演算子がエルミートかエルミートではないかを求めたいんです。
∫Ψ*ix∂/∂yΦdτ　＝　∫Φ(ix∂/∂yΨ)*dτ
が成り立てばエルミートだといえると思うのですがこの先どう計算すればいいのか途方にくれています。
似たような問題がこの先もあるのでこれさえ理解できれば次のも解けると思うんです。なのでできれば計算過程詳しくお願いします。

(ΦとΨは二回微分可能で∫Ψ*Ψdτが有限であるような関数。dτは積分の適当な体積素片)

回答No.4

noname#21220 · ベストアンサー

訂正。

×　∫Ψ*ix∂/∂yΦdτ=
[ixΨ*Φ](-∞～∞)-∫ix∂Ψ*/∂y・Φdτ

→○ ∫Ψ*ix∂/∂yΦdτ=
∫dx{[ixΨ*Φ](-∞～∞)-∫ix∂Ψ*/∂y・Φdy}
=∫dx∫Φ(ix∂Ψ/∂y)*dy=∫Φ(ix∂Ψ/∂y)*dτ

dxについては実際には積分しませんが、一応付けなければなりません。積分はdτとなっていますから。

お礼

返信ありがとうございます！大変わかりやすく助かりました。間違ったまま覚えてしまわなくてよかったです。本当にありがとうございました。

回答No.3

noname#21220

×(かける)ではなく、x(エックス)だったのですね。

下の補足の計算は、部分積分が間違っておられます。
xについて、1/2x^2と積分したら、元に戻してはいけません・・
i[Ψ*1/2x^2Φ]　－i∫Φ(1/2x^2)∂Ψ*/∂ydτ

xについての積分ではなく、yについて積分
すれば良いのです：∫Ψ*ix∂/∂yΦdτ　
＝[ixΨ*Φ](-∞～∞)-∫ix∂Ψ*/∂y・Φdτ
=∫Φ(ix∂Ψ/∂y)*dτ

回答No.2

noname#21220

＜＜∫Ψ*ix∂/∂yΦdτ　＝　∫Φ(ix∂/∂yΨ)*dτ

演算子がエルミートである条件は
<φ｜Aψ>＊=<ψ｜Aφ>です。これを積分で表すと
∫φ(Aψ)*dτ=∫ψ*Aφdτだから、仰せの通りです。

実際に計算して見ましょう。
∫Ψ*ix∂/∂yΦdτ　＝[iΨ*Φ](-∞～∞)
-∫i∂Ψ*/∂y・Φdτ=∫Φ(i∂Ψ/∂y)*dτ
となります。これで終わりです。ただし、[iΨ*Φ](-∞～∞)は
無限遠方で0になることを用いました。

ΨもΦも、無限遠方で0にならなければならない、そうでなければ演算子がエルミートにならないから、物理が成り立たない、無限遠方で0にならない関数は
数学的には存在しても、物理的には考えませんという
ニュアンスを含みます。なお、周期境界条件を課した
ものでも、エルミート性を保障する波動関数はあります。普通のexp[ikx]等です。

回答No.1

ojisan7

部分積分法を使います。また、ΦとΨは二乗可積分ですから、無限遠点でΦ→0,Ψ→0です。計算はご自分でして下さい。

補足

返信ありがとうございます。計算してみました。が、部分積分の仕方の記憶があまりないので全然自信がありません。
左辺　＝　i∫Ψ*x∂Φ/∂ydτ
　 　　＝ i∫Ψ*(1/2x^2)'∂Φ/∂ydτ
　　　　　　　　　　　　　∞
　　　＝　i[Ψ*1/2x^2Φ]　－i∫Φx∂Ψ*/∂ydτ
　　　　　　　　　　　　－∞
　　　＝　∫Φ(－ix∂/∂y)Ψ*dτ
　　　＝　∫Φ(ix∂Ψ/∂y)*dτ
よってエルミート
・・・で合ってますか？