エルミート演算子について 助けてください

質問

大学２年、量子力学初学者です。
以下の問題が、全くわかりません。
どなたか、教えて頂けませんでしょうか？

問題

２つのエルミート演算子AとBに対して

AとBは同時対角化可能　＜＝＝＞　[A,B]=0

であることを示せ。

ヒントだけでも頂けたらなと思っております。
どうぞ宜しくお願い致します。

回答No.1

cnocc · ベストアンサー

1)AとBは同時対角化可能＝＝＞[A,B]=0
P^(-1)*A*P=C（対角行列）
P^(-1)*B*P=D（対角行列）
(P^(-1)*A*P)*(P^(-1)*B*P)=(P^(-1)*A*B*P)=C*D
(P^(-1)*B*P)*(P^(-1)*A*P)=(P^(-1)*B*A*P)=D*C
対角行列の積なのでC*D=D*Cつまり
(P^(-1)*A*B*P)=(P^(-1)*A*B*P)
あとは.....
2)大まかな流れですが
AとBは同時対角化可能＜＝＝[A,B]=0の証明
A の固有値λの固有ベクトルをuaとする
AB*ua=BA*ua=λ*B*ua
なので、B*uaもAの固有値λの固有ベクトルである
したがって
B*ua=C*ua (Cは定数)
とおける
すなわちuaはBの固有ベクトルである
このuaを用いて対角化する行列を作ればA、Bは同時に対角化出来る

お礼

どうもありがとうございます。

大変よくわかりました。