ｋの値。 ベクトルの最初の方の問題です＞＿＜

質問

点Ｒが線分ＰＱを次のように外分するとき、ＯＲ→をＯＰ→＝ｐ→、ＯＱ→＝ｑ→を用いて表せ。

（１）５：３に外分する。
（２）１：４に外分する。

この問題の（１）と（２）のｋの導き方が良く解りません

教科書には、
ｋ＝ＰＲ/ＰＱ＝５/２（＞０）＜－これがわかりません。

OR→＝(1-k)op→+ｋOQ→=-3/2p→+5/2q→　となるのですけど、
上のＯＲの式は分点比公式より、導くのですが
肝心のｋの求め方と意味がよくわかりません。

（２）はＫ＝-PR/PQ=-1/3となっていて
Kの値というのは、m/m+n のことなのでしょうか？？（mとｎは比の関係？だと思います。。。）
つまり、ｋ＝m/m+nと覚えればいいのでしょうか＞＿＜
ごめんなさい、ｋについてよくわかりません。。
誰か教えてください。

回答No.7

take008 · ベストアンサー

今やりたいことは，外分点についての分点比の公式を導くことです。
ですから，分点比の公式を使うことはできません。

内分点の分点比の公式を導いたように，ベクトルの基本の概念
（ベクトルＡＢを\ＡＢと書くことにします）
　\ＰＱに平行なベクトル\ＰＲは，\ＰＲ＝ｋ\ＰＱ と表せる
　（|k|＝ＰＲ/ＰＱ，
　　ｋの符号は\ＰＱと\ＰＲが同じ向きのとき＋，逆向きのとき－）
を使います。

(1) ５：３ の外分点のとき，
　　Ｐ,Ｑ,Ｒ の順に並んでいて，ＰＲ＝５，ＱＲ＝３ なので，ＰＱ＝２，
　　\ＰＲ は \ＰＱ と同じ向きなので ｋ＝5/2
(2) １：４ の外分点のとき，
　　Ｒ,Ｐ,Ｑ の順に並んでいて，ＰＲ＝１，ＱＲ＝４ なので，ＰＱ＝３，
　　\ＰＲ は \ＰＱ と逆向きなので ｋ＝－1/3

そして，
\ＯＲ＝￥ＯＰ＋￥ＰＲ＝￥ＯＰ＋ｋ\ＰＱ
　　　＝￥ＯＰ＋ｋ(￥ＯＱ－\ＯＰ)＝(１－ｋ)\ＯＰ＋ｋ\ＯＱ
と計算します。（ｋには上で得た具体的の数を書きます）。

これを一般的にすると
　\ＯＲ＝(－ｎ\ＯＰ＋ｍ\ＯＱ)/(ｍ－ｎ)
になります。

回答No.8

sanori

＃５の回答を書いたものです。

手前味噌ですみませんが、
ざっと皆さんの回答含め、ざっと見渡したところ、
私の考え方が、もっとも分かりやすいです。

私は、内分や外分の公式なんか覚えたことがありません。
公式を導く考え方だけ覚えています。
逆に言えば、覚えるもんじゃありません。覚えたほうが間違いやすいです。

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いま、文部科学省のサイトで、現在の学習指導要領を見ましたけど、

高校で覚えておきたい公式
（すなわち導出から考えてると時間がかかる公式）
と言えば、はっきり言って下記ぐらいです。

・ｘのｎ乗　をｘで微分したら　ｎかけるｘの(n-1)乗
　だから、ｘのｍ乗を積分したら　１／（ｍ＋１）かけるｘの(m+1)乗
　ただし、ｍが－１のときだけは、積分したらlog|ｘ|

・sinθ　をθで微分したら　cosθ

・conθ　をθで微分したら　

・ｅのｘ乗　をｘで微分したら　微分する前と、ちょうど同じ

・２点間の距離は、ピタゴラスの定理で求められる。

・円周角は中心角の２分の１

・(a+b)(a-b) = a^2-b^2
　だから、長さ（＝２ａ）が一定の紐で輪っかをつくり、長方形にしたとき、ｂがゼロのとき、つまり、正方形のときに一番面積がデカい。
　また、
　5004 × 4996 ＝ 25のうしろにゼロ６つ － １６

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等比級数の和を求めるにしても、
公式なんか覚えなくても、

S = 1 + 3 + 9 + 27 + 81 + 243
3S = 3 + 9 + 27 + 81 + 243 + 729
3S-S ( = 2S ) = 729 - 1
S = 728/2
これを一般化（≒法則化、公式化）すれば
S = Σ(k=0～n) a^k
aS = Σ(k=1～n+1) a^k
だから、
aS - S = (a-1)S = a^(n+1) - a^0
よって、
Σ(k=0～n) a^k = S = { a^(n+1) - a^0 }/(a-1)
　= { a^(n+1) - 1 }/(a-1)

ｋを１から始めれば、
Σ(k=1～n) a^k = { a^(n+1) - a^1 }/(a - 1)
　= { a^n - 1 }/(1 - 1/a)
　= { 1 - a^n }/(1/a - 1)

もしも、a = 1/3 だったら、
左辺は、1/3 + 1/9 + 1/27 + 1/81 + 1/243 + ・・・
右辺は、{ 1 - (1/3)^2}/(3-1) = ( 1- 1/3^n)/2
だから、ｎの無限まで足し算したら、
1/3 + 1/9 + 1/27 + 1/81 + 1/243 + ・・・＝ １／２

ついでに、
1/2 + 1/4 + 1/8 + 1/16 + 1/32 + ・・・　＝　１
だから、
正方形の折り紙・千代紙の面積は、大きな二等辺直角三角形から始めて、面積半分、半分、半分・・・・・ずつしていった全ての二等辺直角三角形の面積の和になる。（当たり前）

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比較的複雑なものでは、２次方程式の解の公式とか判別式がありますが、
その公式を忘れても、
ax^2 + bx + c = 0
x^2 + b/a・x + c/a = 0
x^2 + ２・b/(2a) + {b/(2a)}^2 = {b/(2a)}^2 - c/a
　　　　= (b^2 - 4ac) / 4a^2
x + b/(2a) = ±√(b^2 - 4ac)　／(2a)
x = 1/2a・｛－b ±√(b^2 - 4ac) ｝

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場合の数、確率の系統は、公式覚えないほうが分かりやすいです。

５枚の異なるカードから３枚選ぶ組み合わせ
5Ｃ3
１枚目５種類から、２枚目は残りの４種類から、３枚目は残りの３種類からだから、
５×４×３
だけど、３枚のカードは、並び替えが可能なので、
３！で割らないといけない
だから、
5Ｃ3　＝　５×４×３÷３！
これ、
nＣr ＝ ｎ!・(ｎ－ｒ)!／ｒ!
なんていう公式で覚えたら、確実に忘れるし、いつか必ず間違えますよ。

では、私の前回回答に、文字ｋを入れてみましょうか。

---------

「外分」という言葉は、２０年以上聞いていないので忘れました。（笑）

たぶん、Ｒから見て、Ｐまでがａ、Ｑまでがｂ。
（ただし、ａ＞ｂ）

Ｑは、ＰとＲの間。
ＱからＰまではａ－ｂ。
ふむふむ。

ということは、
Ｐを始点として、ベクトルＰＱ→と同じ方向のベクトルがＱを突き抜けて、長さがＰＲになればよいので、
ＰＲの長さというのは、
ＰＱのｋ倍
　＝ａ／（ａ－ｂ）倍
のようが気がしますが、いかがですか？

ということは、
ＯからＲまで行くには、
ＯからＰに行く　＝　ＯＰ→
ＰからＲに行く　＝　ＰＱ→のｋ倍（ a/(a-b)倍）

だから、

ＯＲ→　＝　ＯＰ→　＋　２．５×ＰＱ→
　＝　ｐ→　＋　ｋ（ｑ→ － ｐ→）
　＝　ｐ→　＋　a/(a-b)（ｑ→ － ｐ→）

というふうに考えるのかな？
--------------

つまり、公式なんか覚えないほうが、問題を解きやすい、ということです。

公式に頼る人は、こういう問題で、どれかの数字のプラスとマイナスが単純に逆になっただけでパニックになります。

回答No.6

Willyt

内分：ＲがＰとＱの間にある（線分ＰＱ上にある）。
外分：Ｒが線分ＰＱの外にある。

上記をふまえた上でＱがＰの左側にあるとして

ＰＲ：ＲＱ＝５：３になるようなＲをＰＱの外で探すと
Ｐから右へＰＱの５／２倍だけ離れた点がＲになりますね。
このとき　ＰＲ：ＰＱ＝５／２：３／２＝５：３

ＰＲ：ＲＱ＝１：４になるようなＲをＰＱの外で探すと
Ｐから左へＰＱの１／３だけ離れた点がＲになりますね。
このとき　ＰＲ：ＲＱ＝１／３：（１／３＋１）＝１：４

お分かりでしょうか？

回答No.5

sanori

「外分」という言葉は、２０年以上聞いていないので忘れました。（笑）

たぶん、Ｒから見て、Ｐまでが５、Ｑまでが３。
Ｑは、ＰとＲの間。
ＱからＰまでは２。
ふむふむ。

ということは、
Ｐを始点として、ベクトルＰＱ→と同じ方向のベクトルがＱを突き抜けて、長さがＰＲになればよいので、
ＰＲの長さというのは、ＰＱの２．５倍のようが気がしますが、いかがですか？

ということは、
ＯからＲまで行くには、
ＯからＰに行く　＝　ＯＰ→
ＰからＲに行く　＝　ＰＱ→の２．５倍

だから、

ＯＲ→　＝　ＯＰ→　＋　２．５×ＰＱ→
　＝　ｐ→　＋　２．５・（ｑ→ － ｐ→）

というふうに考えるのかな？
（勿論、２．５は、５／２と書くほうがよいです。）

私、計算が苦手なので、検証してください。

回答No.4

noname#20378

後半のリンク間違えた。
http://www.geisya.or.jp/~mwm48961/koukou/bunten01.htm

もしPがABをk:1-kで外分した点だとすると・・・

回答No.3

noname#20378

うまい外分の解説が見つかりませんでした

まずは内分。
http://www12.plala.or.jp/ksp/mathInPhys/restudyVector3/#id6

外分とは以下のような分け方をいいます。後半の目分量問題は解けないでしょうが(笑)、

http://www.geisya.or.jp/~mwm48961/kou2/iti_vector3.html

ABベクトルをOBベクトルとOAベクトルで表し、・・・その1
APベクトルをABベクトルであらわしてみてください。・・・その2
その2にその1を代入してください

同じ要領で(1)も(2)も出来ますよ。解らなかったらまた聞いてください

補足

返事ありがとうございます。
ただ、ｋの値の使い方がよくわかりません。。。

回答No.2

pocopeco

↓　さっきのは途中で送信しました。
＃はベクトル→の事です。
　　→が面倒だったので勝手に#に決めました。

図のnの長さの線はQR間にしたのに、ずれちゃってます。
ごめんなさい。

回答No.1

pocopeco

PQをm;nにする外分点Rとは、
Pからm進んでR、n戻ってQになる点。

図にすると
*------ m----------*
*---n---*
P----------Q-------R

なので、PQ:PR = m-n : m
になるのです。

方向もPQ#とPR#は同じなので、
PR#={m/(m-n)}PQ#
OR#-OP#={m/(m-n)}(OQ#-OP#)
OR#={m/(m-n)}OQ#+{-n/(m-n)OP#}

と計算できます。これはKを使わないやり方です。