ベストアンサー

微分方程式の解

2002/01/31 02:32

nuubouの回答

nuubou
ベストアンサー率18% (28/153)

2002/02/13 15:06 回答No.4

ｘを実数の変数としｙ（ｘ）をｘの複素数値関数としＤ＝ｄ／ｄｘとしｎを自然数としｆ（ｓ）をｓの複素係数ｎ次多項式としｇ（ｘ）をｘの複素数値関数とする定数係数斎次線形微分方程式の解に指数関数が出てくる理由：ｆ（Ｄ）・ｙ（ｘ）＝０の任意の解はｋを０以上の整数としλを複素数としｘ＾ｋ・ｅｘｐ（λ・ｘ）の形の関数の線形結合なのです一般解：１個以上の任意定数を含むｘの関数ｙ（ｘ）が前記任意定数がいかなる値であってもｆ（Ｄ）・ｙ（ｘ）＝ｇ（ｘ）を満たしｆ（Ｄ）・ｙ（ｘ）＝ｇ（ｘ）の任意の解が前記任意定数に数値を代入したｙ（ｘ）に等しいときｙ（ｘ）をｆ（Ｄ）・ｙ（ｘ）＝ｇ（ｘ）の一般解という特殊解（特解）：ｆ（Ｄ）・ｙ（ｘ）＝ｇ（ｘ）の一般解の任意定数に具体的な数値を代入したものをｆ（Ｄ）・ｙ（ｘ）＝ｇ（ｘ）の特殊解という初期条件：ｆ（Ｄ）・ｙ（ｘ）＝ｇ（ｘ）においてｘ０を実数としてｙ（ｘ０），Ｄ・ｙ（ｘ０），Ｄ＾２・ｙ（ｘ０），・・・，Ｄ＾（ｎ－１）・ｙ（ｘ０）は勝手に決めてよいこのような条件を初期条件というｆ（Ｄ）・ｙ（ｘ）＝ｇ（ｘ）の一般解とｆ（Ｄ）・ｙ（ｘ）＝０の一般解：ｇ（ｘ）をｘの複素数値関数としＹ０≡｛ｙ０｜ｙ０はｆ（Ｄ）・ｙ０（ｘ）＝０である複素数値関数｝としＹ１≡｛ｙ１｜ｙ１はｆ（Ｄ）・ｙ１（ｘ）＝ｇ（ｘ）である複素数値関数｝としｙｓ∈Ｙ１としｙｓ＋Ｙ０≡｛ｙｓ＋ｙ０｜ｙ０∈Ｙ０｝とするｙ１∈ｙｓ＋Ｙ０とするするとｙ０∈Ｙ０が存在してｙ１＝ｙｓ＋ｙ０するとｆ（Ｄ）・ｙ１（ｘ）＝ｆ（Ｄ）・（ｙｓ（ｘ）＋ｙ０（ｘ））＝ｇ（ｘ）すなわちｙ１∈Ｙ１結局ｙｓ＋Ｙ０⊂Ｙ１ｙ１∈Ｙ１とするするとｆ（Ｄ）・（ｙ１（ｘ）－ｙｓ（ｘ））＝ｇ（ｘ）－ｇ（ｘ）＝０すなわちｙ１－ｙｓ∈Ｙ０従ってｙ１＝ｙｓ＋（ｙ１－ｙｓ）∈ｙｓ＋Ｙ０結局Ｙ１⊂ｙｓ＋Ｙ０以上からＹ１＝ｙｓ＋Ｙ０従ってｆ（Ｄ）・ｙ（ｘ）＝ｇ（ｘ）の一般解ｙ（ｘ）はｆ（Ｄ）・ｙ（ｘ）＝ｇ（ｘ）の特殊解とｆ（Ｄ）・ｙ（ｘ）＝０の一般解の和ｆ（Ｄ）・ｙ（ｘ）＝０の一般解：Ｍを自然数としｍを１≦ｍ≦Ｍである自然数としてλ［ｍ］をｆ（ｓ）＝０のｋ［ｍ］重根としｋ［１］＋ｋ［２］＋ｋ［３］＋・・・＋ｋ［Ｍ］＝ｎとしｈ［ｍ］（ｘ）をｘの任意複素係数（ｋ［ｍ］－１）次多項式とするとｆ（Ｄ）・ｙ（ｘ）＝０の一般解はｙ（ｘ）＝Σ（ｍ＝１～Ｍ）・ｈ［ｍ］（ｘ）・ｅｘｐ（λ［ｍ］・ｘ）であるただしλ［１］，λ［２］，λ［３］，・・・，λ［Ｍ］はそれぞれ互いに異なりｈ［１］（ｘ），ｈ［２］（ｘ），ｈ［３］（ｘ），・・・，ｈ［Ｍ］（ｘ）はそれぞれｘの最高次数の係数が０であってもいいものとするｆ（Ｄ）・ｙ（ｘ）＝ｇ（ｘ）の一つの解： αを複素数としρ（ｘ）をｘの複素数値関数としたとき ∫（α）・ρ（ｘ）≡ｅｘｐ（α・ｘ）・∫（？～ｘ）ｄｕ・ｅｘｐ（－α・ｕ）・ρ（ｕ）とするただし？は｛∞，－∞｝∪｛実数｝から好き勝手に選んだ元である α［１］，α［２］，α［３］，・・・，α［ｎ］をそれぞれ複素数としてｆ（ｓ）≡（ｓ－α［１］）・（ｓ－α［２］）・（ｓ－α［３］）・・・（ｓ－α［ｎ］）とするとｙ（ｘ）＝∫（α［ｎ］）・・・∫（α［３］）・∫（α［２］）・∫（α［１］）・ｇ（ｘ）はｆ（Ｄ）・ｙ（ｘ）＝ｇ（ｘ）の一つの解である従ってｆ（ｓ）の因数分解ができればｆ（Ｄ）・ｙ（ｘ）＝ｇ（ｘ）の一般解は前記公式によって機械的に求まる公式の作成の骨子：ｚ（ｘ）を任意の複素数値関数としαを任意の複素数とするすると（ｄ／ｄｘ）・ｅｘｐ（－α・ｘ）・ｚ（ｘ）＝ｅｘｐ（－α・ｘ）・（（ｄ／ｄｘ）－α）・ｚ（ｘ）であるからｅｘｐ（α・ｘ）・（ｄ／ｄｘ）・ｅｘｐ（－α・ｘ）・ｚ（ｘ）＝（（ｄ／ｄｘ）－α）・ｚ（ｘ）すなわち（Ｄ－α）・ｚ（ｘ）＝ｅｘｐ（α・ｘ）・Ｄ・ｅｘｐ（－α・ｘ）・ｚ（ｘ）であるここでｅ［α］（ｘ）≡ｅｘｐ（α・ｘ）・Ｄ・ｅｘｐ（－α・ｘ）とおくすると（Ｄ－α）・ｚ（ｘ）＝ｅ［α］（ｘ）・ｚ（ｘ）ｚ（ｘ）＝ｙ［１］（ｘ）≡ｙ（ｘ）としα＝α［１］とすると（Ｄ－α［１］）・ｙ［１］（ｘ）＝ｅ［α［１］］（ｘ）・ｙ［１］（ｘ）でありこの等式をｅｑ［１］とするｚ（ｘ）＝ｙ［２］（ｘ）≡（Ｄ－α［１］）・ｙ［１］（ｘ）としα［２］≡α［１］とすると（Ｄ－α［２］）・ｙ［２］（ｘ）＝ｅ［α［２］］（ｘ）・ｙ［２］（ｘ）でありこの等式をｅｑ［２］とするｚ（ｘ）＝ｙ［３］（ｘ）≡（Ｄ－α［２］）・ｙ［２］（ｘ）としα［３］≡α［２］とすると（Ｄ－α［３］）・ｙ［３］（ｘ）＝ｅ［α［３］］（ｘ）・ｙ［３］（ｘ）でありこの等式をｅｑ［３］とする・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・ｚ（ｘ）＝ｙ［ｎ］（ｘ）≡（Ｄ－α［ｎ－１］）・ｙ［ｎ－１］（ｘ）としα［ｎ］≡α［ｎ－１］とすると（Ｄ－α［ｎ］）・ｙ［ｎ］（ｘ）＝ｅ［α［ｎ］］（ｘ）・ｙ［ｎ］（ｘ）でありこの等式をｅｑ［ｎ］とするｅｑ［１］，ｅｑ［２］，ｅｑ［３］，・・・，ｅｑ［ｎ］から［Π（ｍ＝１～ｎ）・（Ｄ－α［ｍ］）］・ｙ（ｘ）＝［Π（ｍ＝１～ｎ）・ｅｘｐ（α［ｍ］・ｘ）・Ｄ・ｅｘｐ（－α［ｍ］・ｘ）］・ｙ（ｘ）であるｆ（ｓ）に重根があるときには［Π（ｍ＝１～Ｍ）・（Ｄ－λ［ｍ］）＾ｋ［ｍ］］・ｙ（ｘ）＝［Π（ｍ＝１～Ｍ）・ｅｘｐ（λ［ｍ］・ｘ）・Ｄ＾ｋ［ｍ］・ｅｘｐ（－λ［ｍ］・ｘ）］・ｙ（ｘ）であるｗ［ｍ，λ］（ｘ）≡∫ｘ＾ｍ・ｅｘｐ（λ・ｘ）ｄｘとするとＣを任意定数としてｗ［ｍ，λ］（ｘ）＝ｘ＾ｍ・ｅｘｐ（λ・ｘ）／λ－ｗ［ｍ－１］・ｍ／λでありｗ［０，λ］（ｘ）＝ｅｘｐ（λ・ｘ）／λ＋Ｃである従ってｗ［ｍ，λ］（ｘ）＝Σ（ｋ＝０～ｍ）・ｘ＾（ｍ－ｋ）・ｅｘｐ（λ・ｘ）・（－１）＾ｋ・ｋ！・ｍＣｋ／λ＾（ｋ＋１）＋Ｃである従ってｈ（ｘ）を任意定数を係数とする多項式とすると ∫ｈ（ｘ）・ｅｘｐ（λ・ｘ）・ｄｘ＝Ｈ（ｘ）・ｅｘｐ（λ・ｘ）＋ＣであるただしＨ（ｘ）はｈ（ｘ）と次数が同じで任意定数を係数とする多項式であるｈ（ｘ）とＨ（ｘ）はこの場合同一視できるのでｈ（ｘ）・ｅｘｐ（λ・ｘ）は積分によって任意定数が１つ付加されるだけだといえる従って任意定数を係数とする係数のｍ－１次多項式をｈ０（ｘ）として（∫ｄｘ）＾ｍ・ｈ（ｘ）・ｅｘｐ（λ・ｘ）はｈ（ｘ）・ｅｘｐ（λ・ｘ）＋ｈ０（ｘ）と同じであると考えて良い例：ｙ’’’’’（ｘ）－ｙ’’’（ｘ）－２・ｙ’’（ｘ）＋２・ｙ’（ｘ）＝ｅｘｐ（－２・ｘ）・・・（＊）の一般解を求めてみようｆ（ｓ）＝ｓ＾５－ｓ＾３－２・ｓ＾２＋２・ｓ＝ｓ・（ｓ－１）・（ｓ－１）・（ｓ＋１＋ｉ）・（ｓ＋１－ｉ）である［（＊）の左辺＝０の一般解］ｎ＝５，Ｍ＝４，ｋ［１］＝２，λ［１］＝１，ｋ［２］＝１，λ［２］＝０，ｋ［３］＝１，λ［３］＝－１＋ｉ，ｋ［４］＝１，λ［４］＝－１－ｉである従ってａ，ｂ，ｃ，ｄ，ｅをそれぞれ任意定数としてｈ［１］＝ａ・ｘ＋ｂ，ｈ［２］＝ｃ，ｈ［３］＝ｄ，ｈ［４］＝ｅである従って「（＊）の左辺＝０の一般解」はｙ（ｘ）＝（ａ・ｘ＋ｂ）・ｅｘｐ（ｘ）＋ｃ＋ｄ・ｅｘｐ（（－１＋ｉ）・ｘ）＋ｅ・ｅｘｐ（（－１－ｉ）・ｘ）であるｄとｅを適当に定義し直してｙ（ｘ）＝（ａ・ｘ＋ｂ）・ｅｘｐ（ｘ）＋ｃ＋ｅｘｐ（－ｘ）・（ｄ・ｓｉｎ（ｘ）＋ｅ・ｃｏｓ（ｘ））である［（＊）の特殊解］ｎ＝５，ｇ（ｘ）＝ｅｘｐ（－２・ｘ）， α［１］＝０，α［２］＝１，α［３］＝１，α［４］＝－１＋ｉ，α［５］＝－１－ｉである従って ∫（α［１］）・ｇ（ｘ）＝ ∫（－∞～ｘ）ｄｘ・ｅｘｐ（－２・ｘ）＝ｅｘｐ（－２・ｘ）／（－２）， ∫（α［２］）・ｅｘｐ（－２・ｘ）／（－２）＝ｅｘｐ（ｘ）・∫（－∞～ｘ）ｄｘ・ｅｘｐ（－ｘ）・ｅｘｐ（－２・ｘ）／（－２）＝ｅｘｐ（－２・ｘ）／６， ∫（α［３］）・ｅｘｐ（－２・ｘ）／６＝ｅｘｐ（ｘ）・∫（－∞～ｘ）ｄｘ・ｅｘｐ（－ｘ）・ｅｘｐ（－２・ｘ）／６＝ｅｘｐ（－２・ｘ）／（－１８）， ∫（α［４］）・ｅｘｐ（－２・ｘ）／（－１８）＝ｅｘｐ（（－１＋ｉ）・ｘ）・∫（－∞～ｘ）ｄｘ・ｅｘｐ（（１－ｉ）ｘ）・ｅｘｐ（－２・ｘ）／（－１８）＝ｅｘｐ（－２・ｘ）／（－１８・（１－ｉ））， ∫（α［５］）・ｅｘｐ（－２・ｘ）／（－１８・（１－ｉ））＝ｅｘｐ（（－ｉ－１）・ｘ）・∫（－∞～ｘ）ｄｘ・ｅｘｐ（（１＋ｉ）ｘ）・ｅｘｐ（－２・ｘ）／（－１８・（１－ｉ））＝－ｅｘｐ（－２・ｘ）／３６である従って「（＊）の特殊解」はｙ（ｘ）＝－ｅｘｐ（－２・ｘ）／３６である（注）？として－∞を選んだが積分結果が簡単になるようにその都度∞や０などを選んでも良い［（＊）の一般解］前記「（＊）の左辺＝０の一般解」と前記「（＊）の特殊解」の結果から「（＊）の一般解」はｙ（ｘ）＝（ａ・ｘ＋ｂ）・ｅｘｐ（ｘ）＋ｃ＋ｅｘｐ（－ｘ）・（ｄ・ｓｉｎ（ｘ）＋ｅ・ｃｏｓ（ｘ））－ｅｘｐ（－２・ｘ）／３６である