微分方程式の解

質問

微分方程式の解に一般解と特異解があると思うのですが、特異解の条件って言うのは自分で勝手に決めるものなのですか？「ｙ＝０のとき」とか勝手に決めてるみたいなのですが。
それと一般解は一般的に何か求める公式が存在するのでしょうか。微分や積分を使って普通に求められるものはいいのですが、問題によってはいきなり指数関数になったりして意味不明です。
なぜ、一般解と特異解を足したものが解なのでしょう？
ぜんぜん、分かりません。何を聞いていいのか分かりません。
こんな質問で申し訳ないのですが、ご回答お願いします。

回答No.1

starflora · ベストアンサー

微分方程式一般の理論まではとても分かりませんので、こういう風に考えているということを述べます。

　　まず、微分方程式に対する特解（特異解とは特解だと考えます）を求める方法は、微分方程式ごとで、一種の技法があると思います。万能の解法というのは、ないのではないかとも思いますが、一般論であるのかも知れません。

　　物理数学では、特定の微分方程式に対し、特解を解く技術があるように思います。この技法で得られた特解の「条件」とは、無論、微分方程式を満たす、つまり解であるということです。また、微分方程式の解は、一般に、ヴェクトル的イメージでは、独立した、別解の線形結合もまた解で、独立特解が幾らぐらいあるのかは、特解の形と、方程式の形で、概ね見当が付くものだと思います。またそれも、解法の技法に含まれていると思われます。（一般理論は知りませんので、原始的な話ですが）。

　　独立した特解の線形結合が、「一般解」になります。一般解のなかに、すでに特解も含まれていて、「特解＋一般解」は、一般解に他ありません。だから、一般解と特解を足したものが解、というより、すでに一般解が出ているなら、解は、もう出ているのです（特解同士を足すのは、線形結合を造って、一般解を求めていることになります。微分方程式はその形から、特解の線形結合も解となるのです）。

　　なお、問題によっては、いきなり指数関数になるのは、多分、一般理論で解き方の手順があるのでしょうが、特定の方程式を解く場合、解がすでに分かっているものは、数学的厳密さを無視して、大まかな話から解を導くので、そういう印象が出るのだと思います。

　　微分方程式の一般理論を学びたいのでしたら、それに相応しい分野というか、常微分方程式論ですが、を学ぶという手順の後で、問題はよりよく見えて来るのではないでしょうか。

　　多分、物理数学での微分方程式の解き方が、何か恣意的な感じがするので、このような疑問になると思うのですが、それは、演習などで解く問題が、答えが十分吟味され分かっている問題であるので、かなりに途中経過を略しているからでしょうし、また、方程式の形から、この解は、これになるという予測の立つものがあり、それを入れてみて解くと、特解が出て、特解と方程式の形から、その特解と直交する、つまり、一次独立な別の特解も分かり、これらで、線形結合を造り一般解を出すのです。

　　こういうことで、納得行きませんでしょうか？

　　微分方程式の解法の一般理論や、また一般解がこれで十分な一般解かという充足条件などの証明議論は、やはり、数学の純粋理論で出てくるもので、そのあたりを学ばないと分からないのではないかということです。

お礼

ご解答ありがとうございます。
やはり、純粋に数学を学ばなければそこまでたどり着かないということですか。
工学のついでにと言うのは無理なのですね。