アンペールの法則とビオ・サバールの法則

質問

私にはどちらも電流と磁界に関する式にしか見えません。
この二式が今日まで繁栄できたのは、どちらも意味があるからだとは思うのですが・・・
この二式をどういった問題を解決する時に使い分けるのでしょうか。詳しい方、ご教授ください。

回答No.5

noname#21219 · ベストアンサー

1と2を書いたものです。
アンペールの法則について、積分形の形しか書きませんでしたけど、当然微分形式というものもあります。

微分形式のアンペールの法則とは
∇×B(r)=μ0i(r)(真空中)のことです。この両辺を
ある範囲において面積分すると
∫∫(∇×B)・ndS=∫∫μ0i・ndS
よって∫B・ds=μ0I
という
積分形式が出てくるのです。ただしストークスの公式
を使いました。
さて、微分形式のアンペールの法則は
∇×B(r)=μ0i(r)ですが
これはある地点における磁場と電流密度の関係です。
未知変数は、Bx,By,Bzで3つです、上の式は
ベクトルだから、各成分について3つの式が出ますよね。ix,iy,izはもちろん既知です。
この連立微分方程式を解けば、磁場の一般解
が求まりさらに条件が与えられれば、磁場B(r)は完全に分かります。

回答No.6

eatern27

#4です。

一般に、発散密度と回転密度を与えれば、ベクトル場は(定数の差は除いて)一意的に決まります。(ヘルムホルツの定理)

しかし、回転密度のみ、あるいは、発散密度しか与えられていない場合には、ベクトル場は、(定数の差を除いても)一意的には定まりません。

例えば、静電場Ｅについて、∇×Ｅ＝０が成り立ちますが、ガウスの法則からＥは電荷密度ρにも依存するので、∇×Ｅ＝０だけでＥが求まるはずがありません。
つまり、未知変数(未知関数？)はE_x,E_y,E_zの３つで、式も∇×Ｅ＝０で３つですが、Ｅは求まりません。

だから、回転密度のみを与えるアンペールの法則から磁場を一意には決められません。

実際、磁場B(r)が、
>∇×B(r)=μ0i(r)
を満たしているとしたら、任意のスカラー関数fに対して、
B'=B+∇f
とおくと、このB'も、∇×B'=μ0i(r)を満たします。

回答No.4

eatern27

＞電流と磁場は相互作用しているので、式変形などをすればどちらの法則からも電流（または磁場）を求めることはできると思いますが

ビオーサバールの法則では、与えられた電流に対して、磁場は一意的に決まります。(静磁場であれば)
従って、いかなる電流が与えられても磁場を求める事が可能です。しかし、実際に計算しようとすると、積分計算がやや煩雑です。

一方、アンペールの法則だけでは、磁場は一意的には決まりません。だから、アンペールの法則だけで磁場を求める事はできません。
が、電流の対称性がよい場合には、アンペールの法則と対称性とを利用して、磁場を簡単に求める事ができます。(当然、ビオーサバールの法則と同じ結果です)
例えば、直線電流の磁場は、軸対称である事を利用して磁場を求めています。

あえて、違いを言うとすれば、

対称性を積極的に利用して磁場を求めるのがアンペールの法則
与えられた電流から強引に磁場を求めるのがビオーサバールの法則

と言ったところでしょうか。アンペールの法則は、ビオーサバールの法則の一部、と考えてもいいかもしれません。

>アンペールの法則：磁場を線積分（周回積分）することにより「電流」を求める。

数学的には、磁場から電流を求める事は可能ですし、式変形の途中で、電流密度Ｊを磁場Ｂを用いてあらわしたい時には使えますが、

現実的には、電流は分かってないが、空間の各点での磁場が分かっている、という状況は基本的にないでしょう。
なので、磁場から電流を求める用途では使う事はめったにないかと思います。

回答No.3

noname#21219

♯1です
<<1補足
そうですね。確かに、一般にはその解釈になるかと思います。

♯1で＜＜ビオサバールでは閉曲線に沿う積分はできません。
とうっかり書いてしまいましたが、そういうことはありません、失礼しました。もちろん、閉曲線に沿う積分も可能です。
ただ一般にどんな曲線に沿う積分もビオサバールでは可能ということをいいたかったわけです。

回答No.2

ymmasayan

私が勉強したときは使うのはアンペールの法則ばかりでビオサバールの法則は
式を暗記しただけでした。

↓によると
１．アンペールの法則の方が解きやすい問題
２．アンペールの法則では解けない問題
が有って共存しているようです。
私は易しい問題しか解いてないので１ですね。(^^;

アンペールの法則とビオ・サバールの法則の関係
http://keirinkan.com/kori/kori_physics/kori_physics_2/contents/ph-2/2-bu/2-3-2.htm
アンペールの法則の限界
http://butsuri.fc2web.com/electro/1-11.html

回答No.1

noname#21219

アンペールの法則の積分形は
∫B・tds=∫∫μ0i・ndSです。
この式の意味するところは、ある閉曲線を
とり、それに沿ってそこに存在する磁束密度
の閉曲線にそう方向の成分を加え合わせていった
和が、その閉曲線の内部を貫通する全電流の、閉曲線
に垂直な方向の値に真空の透磁率をかけたもの,
に等しいというもの。一方、ビオ・サバールの法則とは式で書くとややこしいですけど
ΔB=(μ0/4π)t×(r-r')Ids/｜r-r'｜^3というもの
です。この式の意味するところは、
任意の曲線に沿って電流が存在するとき、その曲線
のある微小部分ds(位置r')に注目し、そこを流れる電流
が、位置rに作る磁束密度ΔBとしたときの、ΔBを与える標識です。全線電流が位置rに作る磁束密度を求めたいときは、それをdsについて積分すれば求まります。

アンペールとビオサバールの違いは、アンペールの場合、線に沿って積分するのは磁場ですけど、ビオサバールでは線積分するのは電流です。また、アンペールでは閉曲線にそって積分すればいいから、簡単な円
を仮定して積分を行うことができ、それにより
B(r)・2πr=μ0I∴B(r)=μ0I/2πrなどとして簡単に
磁束密度が求まるときもありますが、ビオサバールでは閉曲線に沿う積分はできません。かわりに、複雑
な曲線の電流のもとでの、ランダムな位置の磁場を求めるという、複雑な問題を扱うときに効力が発揮されるのではないでしょうか。

お礼

電流と磁場は相互作用しているので、式変形などをすればどちらの法則からも電流（または磁場）を求めることはできると思いますが、一般には、

アンペールの法則：磁場を線積分（周回積分）することにより「電流」を求める。
ビオ・サバールの法則：複雑な曲線を流れる電流を線積分することによりランダムな位置の「磁場」を求める。

といった用途で使われる。と解釈しても、特に問題はないでしょうか？