ビオ・サバールの法則

質問

電磁気学の独学中です。
手元の教科書は「ビオ・サバールの法則は実験則だ」
とだけ書いて、ビオ・サバールの法則からアンペールの法則を導いているのですが、
アンペールの法則とビオ・サバールの法則が等価ならアンペールの法則からビオ・サバールの法則が導けそうなんですがどうでしょうか？
誰かアンペールの法則からビオ・サバールの法則を導くやり方を教えてください。
（等価じゃないならその証明をお願いします）

回答No.4

keyguy · ベストアンサー

ケアレスミス修正

r=(x,y,z)かつr'=(x',y',z')とする

定理:
スカラー関数ψ(r)が|r|=∞でψ(r)=0であり
△(ψ(r))=ψ'(r)とすると
ψ(r)=-∫(r'∈R^3)dv・ψ'(r')/|r-r'|/4/π

を使えば静磁界∇・B(r)=0かつB(r)=μ0・H(r)かつ∇×H(r)=i(r)から簡単にビオサバールの[定理]を証明できる

なお、B(r)=∇×A(r)なるA(r)が存在するための必要十分条件は∇・B(r)=0である

上記定理はグリーンの定理により簡単に証明できる
グリーンの定理は単に
∇・(ψ1(r)・(∇ψ2(r))
の展開式等式にガウスの定理を適用したものである

お礼

訂正ありがとうございます。
グリーンの定理というものを調べてみます。
ありがとうございました。

回答No.3

keyguy

r=(x,y,z)かつr'=(x,y,z)とする

定理(グリーン):
スカラー関数ψ(r)がψ(|r|=∞なるr)=0ならば
ψ(r)=-∫(r'∈全空間)dv・△(ψ(r'))/|r-r'|/4/π

を使えば静磁界div(B(r))=0かつB(r)=μ0・H(r)かつ∇×H(r)=i(r)から簡単にビオサバールの[定理]が証明できる

なお、B(r)のベクトルポテンシャルが定義できる必要十分条件はdiv(B(r))=0である

回答No.2

wata717

２つの法則は共に電流と磁場との関係を与える式で等価で，単に表現が異なるだけです．一方から他方を証明するのにベクトルポテンシャルを導入すれば簡単にできるのに，それを排除して遠回りすることは単に趣味の問題に過ぎないと思います．むしろ電場や磁場を排除してスカラーポテンシャルとベクトルポテンシャルで電磁気学を記述するのが現在の主流です．この問題に熱中されずファインマン先生の本を熟読された方が良いと思います．それに電磁気学を勉強したら，次は量子力学や相対論を勉強しなければ判った気にはまずならないと思います．”少年老い易くして学成り難しです”．

お礼

ありがとうございます。
特殊相対論は一通り勉強しました。量子論はまだですが…
電磁気学はいったんは勉強したもののふと気になって復習みたいな感じでやってます。

回答No.1

wata717

電磁気学の法則はマクスウエルの方程式からすべて導かれます．アンペールの法則は微分形式で書けばマクスウエルの第二方程式に帰着できます．ここで磁場を求めるためにベクトルポテンシャルAを導入して解を求めればビオサバールの法則が得られます．導入過程はランダウ・リフシッツ：場の古典論(1964)東京図書p.122をご覧下さい．またベクトルポテンシャルAについてはファインマン物理学III電磁気学15-5節（岩波書店）に詳細な説明があります．電磁気学は相対性理論と密接な関係があり，その詳細は太田浩一著：マクスウエル理論の基礎(2002)東大出版会に貴重な説明があります．

お礼

回答ありがとうございました。

補足

いろいろとページを見ていて１つだけベクトルポテンシャルを使ってビオ・サバールの法則を導出しているところがありました。
ですがベクトルポテンシャルはマクスウェル方程式を一通り学んだあとにでてくる若干抽象的な概念ですよね。ですからベクトルポテンシャルの概念が直接表にでてこないような初学者向きのアンペールの法則からビオ・サバールの法則を導く方法はありませんか？