教科書を追っていて・・・

質問

本を読んで勉強していて、式の途中に引っかかり、抜け出せなくなりました。どなたかかなり限られた人しか答えられないかもしれませんが、暇なときに回答おねがいします。
「QUANTUM THEORY OF MANY-PARTICLE SYSTEMS」
ALEXANDER L.FETTER
JOHN DIRK WALECKA
の
CHAPTER 3の
6 PICTURESの
Gell-Mann and Low theorem on the ground state in quantum field theory
62ページの
下から２番目の式で、
階段関数を微分するところです。
イコールではなく、定義になっているのが気になります。
この等式が成り立つ理由を教えてください。
また、参考文献などあれば勉強しやすいので挙げていただくとうれしいです。
時間のあるときにお願いします。

回答No.2

KENZOU

＞階段関数を微分するところです。
イコールではなく、定義になっているのが気になります

その本は持っていませんので推定ですが
δ(x)はdθ/dxで定義できる
ということでしょうか。仮にそうだとしましょう(笑い）。
階段関数θ(x)はx>0でθ(x)=1，x<0でθ(x)=0という値を持ちます。グラフを書いてください(ガウスの階段関数だったかな，そういうものと似ていますね）。まずx=0では値は不連続となっており，その傾きは∞であるということができます。x=0以外ではx軸に平行な直線で傾きを持たないので，xで微分すると0になります。ということで階段関数をxで微分した関数は，δ(0)=∞,δ(x≠0)=0とういうδ関数の性質を表します。階段関数は立派な関数ですが，δ関数は超関数と呼ばれ，普通の関数ではないので，うるさく言えばδ(x)=dθ(x)/dxと等号で結ぶのはできない，ということから定義で与えていると思います。ところで，超関数とは何かということですが，「普通の関数と組になって積分式の中に入り込んで，ある重要な作用をおこなう関数」とざっくり掴んでおけばいいでしょう。∫f(x)δ(x-a)dx=f(a)のδ関数がそうですね。参考文献は篠崎他「デルタ関数入門」（現代工学社）なんかどうでしょうか。

お礼

またもや、本が手元にないにも関わらず、推測して詳しく回答していただき感謝します。
こちらの本の方も参考にさせていただこうと思います。

回答No.1

ojisan7

その本が手元にないので何とも言えませんが、Heavisideの階段関数を微分すればDiracのδ関数になります。普通、物理では定義として扱います。厳密に証明するためには、超関数の微分の定義を理解する必要があります。参考書は、やはり、Schwartzの「超関数の理論」（岩波書店）がお薦めです。

お礼

本が手元にないにも関わらず回答をありがとうございました。
「超関数の理論」を参考にさせていただきたいと思います。