標準偏差について

質問

株価のボリンジャーバンドというテクニカル指標について勉強しています。その中で 標準偏差を理解している必要がでてきまして、下記ページでの例題で標準偏差について疑問にぶつかり質問書き込みさせていただきました。よろしくお願いします。

http://www2.ikuta.jwu.ac.jp/%7Ekuto/kogo_lab/psi-home/stat2000/DATA/01/BUNSAN.HTM
上記URLで標準偏差を求めるのに、「全てのポテトの長さの平均」と「各ポテトの長さ」の差を算出するのに二乗していますが、これはなぜ二乗するのでしょうか？ただ単にマイナス数値をプラス数値にするためなのでしょうか？

二乗するのは、単にマイナスをプラス値にするためと「理解」して、二乗せずにマイナスをプラス値にして計算したところ、このHPの標準偏差の答えと答えが違ってしまいました。

これは単に誤差と考えていいのでしょうか？
それとも、二乗する事には他に意味があるのでしょうか？
久々に数学のお勉強をして、少し頭がこんがらがっている状態なのですが、アドバイスをいただけたらと思います。よろしくお願いします。

回答No.4

tatsumi01

> 各ポテト誤差の2乗の合計平均の平方根は、ポテトの誤差合計平均と本来一致しなくてはおかしいのでは？
ここが違います。データ４個で、誤差を a, b, c, d とするとき、(a+b+c+d)/4=0 です。
√{(a^2+b^2+c^2+d^2)/4} は 0 にはなりません（a=b=c=d=0 のときは特例）。
話を簡単にするために次の例を考えましょう。
データ: 1.9, 2.1, 1.9, 2.1
平均値 = 2
誤差: -0.1, 0.1, -0.1, 0.1
誤差を平均すると 0 になります。
goo2408 さんも、それはおかしいと考えて絶対値を取ったのですね。No. 2, 3 で書いたように、統計学では理論的解析を楽にするために二乗平均を取ります。
{(-0.1)^2 + (0.1)^2 + (-0.1)^2 + (0.1)^2 +}/4 = 0.01
これが分散です。平方根を取ることによって標準偏差は 0.1 になります。
ただ、この例はうまくない例で、絶対値を取って平均しても 0.1 です。
一般には二乗平均の平方根と絶対値の平均は異なります。次の例で確認して下さい。（標準偏差 = 0.07071、誤差の絶対値の平均 = 0.05）
データ: 1.9, 2.1, 2.0, 2.0
平均値 = 2

回答No.3

tatsumi01

No. 2 のものですが補足します。
ご質問で「単に誤差と考えていいのでしょうか？」と書かれていますが、明確に違います。
標準偏差とは、二乗して和を取り、それを平均したものの平方根です。
絶対値を取って平均したものは全く違うもので答えが違うのは当たり前です。
絶対値の和を平均する際、標準偏差に対応させるなら、割る数はサンプル数Ｎでなく√Ｎで割らないといけません。
実用上は絶対値の和を√Ｎで割っても近似的に近い値が得られますが、何か補正係数を掛ける必要があったと思います（昔のことで忘れました）。

補足

harihorereさん、tatsumi01さん、書き込みいただきありがとうございます。

標準偏差の目的としては、リンク先の例題から言えばポテトの誤差の平均を求める事で、標準偏差＝誤差の平均という事でいいのですよね？
2の2乗は4で、4の平方根は2であるという事は、各ポテト誤差の2乗の合計平均の平方根は、ポテトの誤差合計平均と本来一致しなくてはおかしいのでは？と思うのですが、、、、ここが上手く理解出来ません。ポテトの例題では誤差の平均が目的となっていますが、標準偏差の本来の目的は、誤差の平均とは別のところにあるものなのでしょうか？
またよろしければ書き込みいただけたらと思います。よろしくお願いします。

回答No.2

tatsumi01

数学的にはご質問のように「マイナスをプラス値にする」ことが一つの理由です。
その他に、集合の平均から距離が大きいものをより激しく評価する効果もあります。
それだけなら、絶対値 |x| でもその３乗 |x|^3 でも同じ効果がある筈と考えられるかも知れません。しかし、x^2 (xの二乗) を微分すると 2x となります。これによって理論的な解析が楽になるのが大きな理由でしょう。

回答No.1

noname#204885

ちゃんとした回答は数学の強い人から聞いたらいいけど、定性的には、二乗することでグラフのスソの広がりぐあい（平均値から大きく乖離する度合い）を見ることができるようになると言うのが重要な点。二乗すると、大きい値はもっと大きくなるし、小さい値はもっと小さくなるから、乖離が強調されるようになる。

もう一つ、正規分布を仮定すると、標準偏差σ（シグマ）がわかれば、平均値から大きく乖離する確率を計算することができる。（なぜそうなるのかと言うと、僕レベルでは「正規分布の式中にσが出てくるから。」としか答えられない。詳しくはガウスに聞いてくれ。）

例えば、平均値から１σ以上ずれる値が出る確率は31.7％、２σ以上ずれる値が出る確率は4.6％、３σ以上ずれる値が出る確率は僅か0.26％。と言うことで、平均値から３σ以上ずれることはめったに起こらないと考えられるから、株価がそれまでの平均値から何σずれたら売るか買うかしましょう、とか言うのがボリンジャーバンドの考え方じゃなかったっけ。