標準偏差の成り立ち

質問

標準偏差の意味について、質問致します。

（質問を簡潔にするため、母集団を分析の対象とします）
標準偏差を求める場合、偏差の２乗和をデータ数で割り、
その値の平方根を計算しますよね。

なぜ、偏差２乗和の平方根で求めた数値を、
データ数で割るという方法ではないのでしょうか？？

（偏差２乗和）^０．５÷データ数
の方がイメージがつかみやすい気がします…

分散は、対象データとは次元（単位？）が違うので、
感覚的に分かり易いように、標準偏差が使用されると
理解しています。
単位を揃えることが目的ならば、データ数で割るという
行為はルートの外に出すべきなのではと考えてしまいます。

私は、どこで訳がわからなくなっているのでしょうか。。。

アドバイス頂ければ幸いです。

回答No.2

hitokotonusi · ベストアンサー

統計を扱うときの基本となる量は標準偏差ではなく分散です。
分散には偏差二乗の平均(二次のモーメント)という明確な意味があります。

分散をこう定義しておくメリットとして、統計的な性質が非常に素直で扱いやすくなると言うことがあります。

まず、変数xiが平均mi、分散σi^2で互いに独立な場合、分散をVであらわして

V(c1 x1 + c2 x2 + ・・・) = c1^2 V(x1) + c2^2 V(x2) + ・・・・

という分散の加法性が成り立つようになります。

また、平均をEであらわして分散の定義を書き換えて

E[(x-m)^2] = E[x^2] - E[x]^2 = E[x^2] - m^2

という形での分散の計算も可能になります。

この定義で、χ二乗分布やt分布などの種々の定理が成り立ち、検定も可能になります。

>分散は、対象データとは次元（単位？）が違うので、
>感覚的に分かり易いように、標準偏差が使用されると
>理解しています。

これはそのとおりですが、標準偏差から分散が求められないなら、その数字は使いようがないものになります。二乗すれば分散が求められることが重要です。

＞（偏差２乗和）^０．５÷データ数

では(おそらく)加法性が成り立たないので、誤差の伝搬の法則すら使えません。

＞偏差の２乗和をデータ数で割り、その値の平方根を計算しますよね。

これなら分散に直せば加法性が成り立つので、誤差の伝搬の法則が成立します。

お礼

丁寧な御回答、ありがとうございます。

統計学としては分散が主であり、標準偏差は便宜的
に求められている数値という位置付けなのですね。

標準偏差自身から成り立ちを考えることが、そもそもの
間違いのようですね。

標準偏差はとても一般的な言葉なのに、式の意味を
誰かに尋ねられたら答えられないなぁと思い質問
させて頂きました。

ありがとうございました。

回答No.1

el156

1/nとΣが平方根の外と内に分かれるのはまずいからだと思います。

例えばテストの成績が6人のうち3人が79点、3人が81点だったとします。6人とも平均と1点ずつ違いますから、偏差の平方和は6で、n=6で割れば分散は1、平方根を取って標準偏差は1です。
平方和が6になったのは、6人分を合算したからです。
6で割る前に先に平方根を取って(1/6)*√6としてしまったら、かえってイメージし難くないですか？

お礼

アドバイス、ありがとうございました。

el156さんの例を使用させて頂くと、標準偏差は、
√（6÷6）=√6÷√6
とあらわせますよね。

実際、これで全く問題ないのですが、
六人のデータからばらつきを求めているのに
√6で除するという行為がしっくりこないなぁと
思っていた次第です。

意味不明な質問におつきあい下さり本当にありがとうございました。