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標準偏差について
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> 何故こうなるのでしょうか? 標準偏差の定義です. したがって,なぜということはありません. これけじゃ仕方がないので,意味を少し書いておきます. 標準偏差は,データ(など)が平均値からどれくらいばらついているかの 目安です. 同じく平均が 10 でも, (1) 9,11,8,10,12 と (2) 4,19,1,10,16 を比べたら,(1)の方が明らかにデータが平均値の近くにまとまっています. こういうことを数量化しようというのが標準偏差です. では,平均値からの差の平均をとればよいか? 各データを ai,平均値を a と書きますと, データ数を N 個としまして 平均値からの差の平均は (3) {Σ(ai - a)}/N ですが,平均値の約束から (4) a = (Σ ai)/N ですから,(3)はゼロになってしまいます. そりゃそうで,平均値より大きいデータも小さいデータもあるわけですから, 正負キャンセルしちゃいます. そこで,2乗すれば必ず正ですから (5) {Σ(ai - a)^2}/N だったらゼロにはなりません. 2乗したから,例えば a が長さだったら(5)は長さの2乗の量になります. 平方根を取れば長さにもどって,長さのデータのばらつきを表すのに ふさわしい量になります. 上の(1)(2)のデータで標準偏差を計算してみてください. (2)の方が大きくなっています. 正にするというなら,2乗でなくて絶対値でも良さそうですね. でも,絶対値は扱いが面倒ですし,関数としての性質も良くないので, 2乗を使うのです y = x^2 のグラフはなめらかですが, y = |x| のグラフは原点で折れ曲がっていて,この点で微分不可能です. 関数としての性質が良くない,とはこういうことだと思ってください.
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