円

質問

線分ABは半径4cmの半円Oの直径である。点Cは弧AB上にあり、弧AC：弧CB＝３：１である。この半円Oを、弦ACを折り目として折ったとき、弧ACが直径ABと交わる点をDとする。
(１)∠CABの大きさを求めよ。

弧AC：弧CB＝３：１であるから、
∠COB＝180°÷4＝45°ですよね。
よって、∠CAB＝45°/2

だとおもいます。

(２)線分ADの長さを求めよ。
点Dの対称の点をD’とする。と考える。
点D’はABの垂直二等分線上にあると思います。（確信がないです。）
そうすると△AOD'より
AD＝AD'＝4√2となると思います。

(３)次の2つ線分AC、ADと弧CDで、囲まれた部分の面積を求めよ。ただし、円周率をπとする。
私の考えは点Cから線分ABに垂線を引き、交わった交点をEとする。
△CAEの面積からいらない部分を引くことを考えて行った。しかし、よくわからずに詰まっています。

すいませんが(2)、（3）の考え方、解説等をお願いします。

回答No.9

char2nd · ベストアンサー

＃３＆６です。

＞(2)の問題で、点DからACに垂線を引きその延長し円との交点をD'として、考えていくことはできませんか？

　同じことですよ。

＞点Dの対称の点をD’とする。と考える。

　これは、作図するときはＤ’から線分ＡＣに対し垂線を引き、その延長線と孤ＡＣとの交点がＤ’とします。
　したがって、単に「対称」という言葉で表現するか、作図するときの順序で表現するかの違いです。
　∠Ｄ’ＡＯが45°で、△ＡＤ’Ｏが直角二等辺三角形になることに気づくかどうかがカギです。

＞(3)も中学の内容でお願いします。

　欠円の面積の公式は、まとめてしまうと難しく見えますが、順序立てて考えれば意外と単純です。
　欠円を構成する弦または孤の中心角（弦または孤の両端と、孤の中心とを結んだときに出来る角）が分れば、欠円の面積は、【扇形部分の面積】－【三角形部分の面積】であることから、それぞれの面積を求めてその差を算出すればいいわけです。
　本件の場合だと、線分ＡＣと孤ＡＣによって構成される欠円の面積は、扇形ＡＣＯから三角形ＡＣＯの面積を引けば求められます。
　具体的な数値で表現すると公式にならないので、半径をＲ、中心角（この場合は∠ＡＯＣ）をθとします。

【扇形部分の面積】
　円の面積と中心角のと360°の割合から
A1＝πＲ^2×θ/360

【三角形部分の面積】
　[底辺]×[高さ]÷２より、[底辺]は半径Ｒ、[高さ]はＲsin(180-θ)より、
A2＝1/2×Ｒ×Ｒsin(180-θ)＝1/2×ｒ^2×sinθ
注）sin(180-θ)＝sinθ

　従って、欠円の面積は、

Ａ＝A1－A2
　＝πＲ^2×θ/360－1/2×Ｒ^2×sinθ
　＝Ｒ^2×{πθ/360－1/2×sinθ}

　Ｒ＝Ｄ/2より、

Ａ＝（Ｄ/2）^2×{πθ/360－1/2×sinθ}
　＝Ｄ^2×{(π/4)×(θ/360)－1/8×sinθ}