Topology

質問

で質問です。二つの繋がった集合（connected sets)はRでは繋がっているが、R^２では繋がっていないことを証明せよという問題です。Rでは二つの集合の共通部分はまた別の集合で、元の二つの集合が繋がっていることから共通部分も繋がっていると証明しましたが、R~2においてこれが正しくないという証明はどうアプローチすればよいでしょうか？ご教授お願いします。

回答No.3

majimiko · ベストアンサー

極座標を用いて、角度は0≦θ<2πとします。

S1:={(r,θ)|0<r<1,θ≠0}
S2:={(r,θ)|0<r<1,θ≠π}

S1、S2は単連結領域ですが、共通部分は

S1∩S2={(r,θ)|0<r<1,θ≠0,π}

つまり円環 {(r,θ)|0<r<1} からx軸を除いた集合となります。
これが連結でないことは明らか。

と言う質問ですよね？

お礼

そうです。どうもありがとうございました。説明がうまく出来なかったのが申し訳ないです。No.1さまもありがとうございました。

回答No.2

ojisan7

すみません。問題を全く逆に把握していました。No1の回答はミスですので、撤回させて下さい。

一般的に、位相空間では、arcwise connectedであれば、connectedになります。

従って、質問の『二つの繋がった集合（connected sets)はRでは繋がっているが、R^２では繋がっていないことを証明せよ』は、変ですね。何か勘違いされているのではないでしょうか。補足説明が欲しいところです。

回答No.1

ojisan7

Rで繋がっているということは、弧状連結(arcwise connected)ということですね。一般的に、位相空間ではarcwise connectedであっても、connectedにはなりません。これは、Ｒ＾２の位相をどのようにとるかによります。普通は、開集合の基を基本近傍系（２次元のopen disk)にとりますよね。それに対して、Rの開集合の基は１次元の開区間です。分かりにくければ、arcwise　connectedであっても、connectedにはならない例を考えてみてください。