ボレル集合族についての証明

質問

次の問題の証明を教えてください。
R上のボレル集合族をβ(R)、CをRの閉集合全体の集合とするとき、σ(C)＝β(R)を示せ。

回答No.1

jcpmutura

R^nにおいて、全ての区間から生ずるσ系をB系、
それに属する集合をB(ボレル)集合という
Ω=Rの部分集合の1類が次の条件に適合するとき、それをσ系といい、
σ系Mに属する集合をM集合という
1.M集合の合併はM集合である
N=(全自然数)
e_n∈M(n∈N)→∪_{n∈N}e_n∈M
2.M集合の差はM集合である
e_1∈M,e_2∈M→e_1-e_2∈M

σ(C)=(Rの閉集合全体から生ずるσ系)
β(R)=(Rの全ての区間から生ずるσ系)
閉区間[a,b],[a,∞),(-∞,b],R=(-∞,∞)は閉集合
開区間(a,∞)はRと閉集合(-∞,a]の差
(a,∞)=R-(-∞,a]
となる
開区間(-∞,b)はRと閉集合[b,∞)の差
(-∞,b)=R-[b,∞)
となる
開区間(a,b)はRと閉集合(-∞,a]∪[b,∞)の差
(a,b)=R-{(-∞,a]∪[b,∞)}
となる
区間[a,b)は閉集合[a,b]と[b,b]の差
[a,b)=[a,b]-[b,b]
となる
区間(a,b]は閉集合[a,b]と[a,a]の差
(a,b]=[a,b]-[a,a]
となるから
すべての区間はRの閉集合全体から生ずるσ系
σ(C)に属するから
β(R)⊂σ(C)…(1)

F∈CとするとFは閉集合
R-Fは開集合だから
任意のx∈R-Fに対して
x∈(a,b)⊂R-F
となるような有理数a<bが存在するから
Q=(全有理数)
∪_{Q∋a<b∈Q,(a,b)⊂R-F}(a,b)=R-F
F=R-[∪_{Q∋a<b∈Q,(a,b)⊂R-F}(a,b)]
{(a,b)|Q∋a<b∈Q,(a,b)⊂R-F}の濃度は可算だから
すべての閉集合は
区間R=(-∞,∞)と
[区間(a,b)の(可算個の)合併
∪_{Q∋a<b∈Q,(a,b)⊂R-F}(a,b)]
の差となるから
Rの区間全体から生ずるσ系
β(R)に属するから
σ(C)⊂β(R)
これと(1)から
∴
σ(C)=β(R)

お礼

jcpmutura様
詳しい解説、ありがとうございます！参考にさせていただきますm(._.)m