1以下と1未満の違い(証明編)

質問

1以下と1未満を1<xと1<=xに置き換えて考えます。
直線lを数(整数、有限小数および無限小数)として定義します。数の連続性を考えれば数を直線として考えることに異論はないと思います。
その場合、値1は直線上の一点xであると考えられます。
点xは直線上において領域を占めません(ユークリッドの定義から)。
ゆえに1<xと1<=xは直線上における同一の領域を示しているといえる。

この証明は誤っているのでしょうか。皆さんのご意見をお聞かせください。

回答No.7

stomachman

stomachmanです。No.6ではちと、端折り過ぎたようです。

> 直線lを数(整数、有限小数および無限小数)として定義します。数の連続性を考えれば数を直> 線として考えることに異論はないと思います。
> その場合、値1は直線上の一点xであると考えられます。
　ここまでは、100Goldさんが（「普通」の数学に含まれる解析幾何学や、ユークリッドの幾何学とは取りあえず無関係に）独自に「直線」と「点」という用語を定義した、ってことです。
　ただし、「数(整数、有限小数および無限小数)」と仰る数がどういうものなのか。特に「無限小数」ってのは何か、ここの所は慎重な吟味を必要とします。小数では表せない無限小を扱う超準解析の出番はなさそうですが、無限小数を「0～9を無限個並べたもの」で定義したことになっているのかどうか。「0.999999... = 1 ?」という問題はまさにそこに関わっています。「「普通」の数学では0.999999... = 1 か？」という質問ならYESですけど、100Goldさんの定義する数においてYESだとは限りません。
　さらに、「として」というのがどういう意味か。ご承知の事とは思いますが、「集合」という概念は必ずしも自明ではない。集合とは違う性質を持つ「集まり」のようなものを別途考え、その「集まり」を指して「数として」と表現していらっしゃるのでもおかしくありません。また、「集まり」が最初からあるのではなくて、必要になる度に具体的な数を作り出していく、という考え方を採ることも可能です。

> 点xは直線上において領域を占めません(ユークリッドの定義から)。
　（他の方々もご指摘の通り）「領域」という言葉が出てきますが、これも（ユークリッドではなく）100Goldさんが定義を与えるのでなくては意味を持たない訳です。
　しかしそんなことよりも、ユークリッドの言っている「直線」が、100Goldさんの定義した「直線」と同じ概念かどうか、という吟味が抜けている。ここが一つの問題点です。「100Goldさんの言う数や数の集まり」と「ユークリッドの言う点や直線」とを同一視するには、ユークリッドの理論と100Goldさんの数に関する理論との対応付け、つまり「一方の理論における定理を他方の理論の定理に読み替えても常に正しい」ということの根拠が要求されます。
　もちろん、そうする代わりに「点xは直線上において領域を占めません」という定理が出てくるように、「領域」という概念を（ユークリッドの理論とは無関係に）定義なさっても良いのです。

> ゆえに1<xと1<=xは直線上における同一の領域を示しているといえる。
　「直線の一部である(1<=x)というものに含まれている1という点は、直線上において領域を占めない。だから、(1<=x)から1という点を取り除いても領域は変化しない。」
という理屈だと思いますが、この『だから』が言えるのかどうか、というところが、次なる問題です。
　例えば「領域を占めないなら無いも同じだ。無いも同じのものを取り除くのは何も取り除かないのと同じだ。だから」という意味だとすると、「領域を占めないなら無いも同じ」「無いも同じのものを取り除くのは何も取り除かないのと同じ」が妥当な推論であることを裏付ける必要がある。ここでは「同一の領域」なる言葉が何を意味しているのか、という所にポイントがあります。

　ですから、100Goldさん自身の定義した「直線」において、「領域」やその他の用語を矛盾なく定義して理論を構成すべきと思います。(その際に、構成的の立場は参考になるだろうと考えます。既にご存知のようにも思えますが。)
　その理論はまだ出来上がってはいないにしても、「普通」の数学とは異なる定理 ：
( x＜1 )= (x≦1)
を導く筈で、ゆえに100Goldさんの「直線」は、「普通」の数学の解析幾何学に於ける「直線」と同じ概念ではない。勿論、同じでなくて構わないです。ただ、現段階ではまだ、この定理を証明するための道具が揃っていないように思われます。