1以下と1未満の違い(証明編)

質問

1以下と1未満を1<xと1<=xに置き換えて考えます。
直線lを数(整数、有限小数および無限小数)として定義します。数の連続性を考えれば数を直線として考えることに異論はないと思います。
その場合、値1は直線上の一点xであると考えられます。
点xは直線上において領域を占めません(ユークリッドの定義から)。
ゆえに1<xと1<=xは直線上における同一の領域を示しているといえる。

この証明は誤っているのでしょうか。皆さんのご意見をお聞かせください。

回答No.6

starflora

No.6 の方は、構成数学のことを持ち出され、選択公理にも言及され、「水掛け論」と言っておられますが、わたしはそうは考えません。

　　まず、質問者の質問については、こういう形の問いに対する標準的な考え方、答え方というものがあり、その考え方からは、提示の証明は、間違っています。

　　しかし、何故、そういう標準的な考え方に従わねばならないのか、という疑問も出てくるのです。質問者の意図を汲み取ると、これは、その証明は「正しい」という結果にもなります。どうして、正しいと言えるのかの説明を以下に述べます。

　　デーデキントの切断や、開集合、閉集合の概念なども含め、これらは、「連続実数」とは何かということを探求し、研究する過程で提出されたものです。そして、これらは、いわゆる「選択公理」を前提とする標準的な集合論（ＺＦ等）や、そこからの展開であるカントールの無限集合理論などに繋がっているのです。

　　「選択公理」は、非常に便利で、有効な強力な公理ですが、おかしなパラドックスを導くことでも有名です。それ故、選択公理を入れて、公理系を構成する場合、外して公理系を構成する場合などの考えが起こり、また、選択公理の公理としての妥当性にも疑問が出てきて、これは、無限操作を認めない直観数学とか、構成数学の考え方にも近寄っているのです。

　　しかし、そういう話はおいておくとします（と言いいつつ、いまから、選択公理について述べるのですが）。まず、カントールの無限集合論は、選択公理を使っています。例えば、実数の無限濃度を、連続体濃度、あるいはアレプ１の濃度と言います。Ｒを実数を表現する数点集合だとすると、Ｒ^2（ＲＸＲ）は、Ｒの無限濃度と同じ濃度です。つまり、Ｒ^2とＲの集合は、無限体としては、同じ濃度アレプ１です。これは、｛Ｒ｝と｛Ｒ^2｝の要素のあいだに、一対一対応が付けられる、あるいは、そういう写像が存在すると証明できるので、同じ濃度となります。この場合、一対一対応にならないという写像もあるのですが、無限集合論では、写像があれば、無限濃度は同じであるとします。この関係を雄弁に語っているのは、「無限集合とは、その真部分集合と、一対一に要素が対応するような集合である」というような、無限集合の定義というか、説明です。（「真部分集合」とは、真の部分になるという写像があるので、そう言えるのです。にも拘わらず、その真部分集合自身の要素のあいだに、一対一対応の写像があれば、この集合と、その真部分集合は、「同じ濃度」の集合となり、こういうのが、無限集合の特徴だというのです）。

　　Ｒ^2とＲ^3も、同じ濃度の無限集合です。この場合、対応できる写像があるというのは、任意に要素を集合から選び出すことができるからで、ここで選択公理が使われているのです。

　　幾何学の図形で考えると、Ｒを、長さ１，例えば、０＜＝ｘ＜＝１の区間の領域の集合と考えてもよい訳です。すると、一辺１の正方形の含む点の濃度は、Ｒ^2になり、一辺１の立方体の含む点の濃度は、Ｒ^3になります。これらは、無限集合論では、同じ無限濃度です。含まれる点が同じ数（というか、正確には、点のあいだに一対一対応写像が作れるということ）です。

　　質問者は、１＜＝ｘが定義する半直線と、１＜ｘが定義する半直線は、直線としては、同じものだということを主張しているように思えます。そして、これは直線としては同じものでしょう。１＝ｘの点が１＜ｘには含まれていないと言うのなら、選択公理で、どこかから適当な点を取って来て、ここに置けばよいでしょう。ただしｘ＝１の位置にではないです。どこにかというと、（超準解析の話になるのかも知れませんが）、ｘ＝１でない、この半直線の端に置くのです。

　　これで、証明の正しさは出てくるのではないでしょうか。

　　半直線を構成する集合の話と、その順序位相などの話からすると、これは実はおかしいのですが、また、正方形と立方体は、含む点の数が、無限集合論からすれば同じ濃度であるが、しかし、これらは幾何図形で、構造や位相があり、単なる集合ではないというのでしたら、「ユークリッドの定義」と言っているのですから、ここでいう「領域」は、集合ではなく、線分という幾何図形のことだとなります。

　　無論、質問者の言葉には、疑問な点が多数ある訳で、「領域」という言葉は、問題があるとか、こういう風に考えると、「数の連続性」とは何のことかという疑問が起きて、それは、おそらく、この「同一の領域」と言っている証明法が使っている数学の論理または公理とは、別のシステムが必要になるのでしょうが、そこまでは、分かりません（責任を持ちません）。標準的な考えでは、上のわたしの説明も、「数の連続性……」という言葉と、「同一の直線を示している」という結論のあいだで、使用している、公理系が、切り替わっているはずだ、という反論になって、それはおかしいと言うことになると思いますが、おかしいかおかしくないかは、質問者が、今後考えてみることで、よいのではないでしょうか。

　　つまり、質問者の言い分も、それなりに背景あるいは根拠があると言うことで、こういう「数学の拡張」もありえるかも知れないということです。それは、構成主義や直観数学に似た感じを与えるのでしょうが、そうレッテルを張るのもどうかということです。

　　なお、以上述べたことは、標準的な数学の考え方からは逸脱するのだ、ということは、前もって言いましたが、ここでも繰り返し述べます。

　　１／３と 0.3333……の３が続く無限循環小数は、同じか違うかという問題もあるようですが、わたしは、違うという意見も正しいと思います。有理数環（または有理数体）の要素として、１／３は定義される訳で、実数体の定義の後では、１／３は実数で、それは、0.3333……と同じ実数を表すと定義されるのですが、有理数環（体）で定義される１／３と、実数体で定義される１／３つまり、0.3333……は、別の集合に属する別の要素ではないのかと言うことです。有利数体は、実数体の部分体であるので、同じなのだというのは、実数体を構成した後の話のはずです。実数体の構成は、大学で学ぶはずですし、すべての人が学ぶ訳ではありません。分数、循環小数というのは知っていても、それらは、有理数のなかの話です。「無限小数」で、すべての数（実数）は表現されるというのは、実数体の定義から出てくるはずです。有理数以外に、無理数や超越数があり、これらは、有理数に較べて無限にたくさんあり、無理数より更にたくさん、超越数があるという話だったと思うのですが、そんなにたくさんある超越数はどこにあるのか、という疑問を抱きます。πやｅが超越数だということもかなり証明に苦労したと記憶しますし。……すべての無理数にπだの、π／２だのその他、πの変形数を無数に加えることができ、それだけで、濃度はともかく、超越数は、すべての無理数よりも、無限に一杯あるということは言えますが。閑話休題で、後、続きなしです）。