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1以下と1未満の違い(証明編)

stomachmanの回答

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  • stomachman
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回答No.11

No.11に100Goldさんが付けたコメントは、全部の回答者に向けたものと承知の上で。 > 別に1/3を引き合いに出すまでもなく以下のようにも0.99..=1が証明できます。 > x=0.99.. 10x=9.99.. > 10x-x=9x=9 だからx=1。これを証明だとお認めになるのなら話はおしまいで、 > 0.99..は境界ですか。それとも0=<x<1という領域に含まれるのでしょうか。 の答はもちろん、 「0.99..=1なのだから、x=0.99..は0=<x<1を満たさない。つまり0.99..は0=<x<1という「領域」には含まれていない。」 となります。 逆に「0.99..は1と違う」という立場をあくまで貫くのなら、 「x=0.99..は9.0...x=9.0.... という方程式の解だ。」 と主張なさらなくてはいけません。 「でも両辺を9で割って、x=9/9=1となるじゃないか。」 なんて言われたって、 「いや、それは有理数ではそうだけれど、ここでやっているのは実数の話だ。x=9/9とx=9.0...÷9.0...は全く別のことを述べているのだ。」 と突っぱねなくちゃ駄目です。No.7でstarfloraさんが仰っているように、普通の数学では整数を有理数の一部として、また有理数を実数の一部として埋め込むということをやっているけれど、この埋め込みを認めたら「0.99...は1ではない」とは主張できなくなってしまいますから、断然認めちゃいけない。  つまり、有理数における割り算/とは全く別物の割り算÷を考える(当然掛け算も別のものを考える)のでなくては、この立場は貫けない。計算や大小関係の規則を一から作り直す必要がある。そうやって作った「100Gold実数」の体系は、「普通」の数学の実数とは違う性質を持つことが可能になる。でも、有理数と実数を切り離してしまったんですから、「普通」の数学と違って 1/2 = 0.5 と言う訳にはいかない。  そこで、例えば 1.0....÷2.0.... = 0.50.... なら認める。(÷は「100Gold実数」専用の割り算のことです。)この手で、1.0....=0.99....を認めて、しかし1と1.0....は別物と主張するのは容易です。実数1.0....は有理数1とは無関係だと。  でもそれじゃ安易過ぎて詰まらないので、実数1.0....は有理数1とは無関係であり、しかも「1.0...と0.99....は別物!」と言える体系をやっぱり構築したい。その体系に於いてはa÷a は少なくとも1.0.....、0.99....という二つの答を持つのでなくてはならない。1.0....÷2.0.... は5.0.....と0.499...という二つの答を持つ。またa - b = 0.0.....からa=bを結論する事は許されない。そんな体系を矛盾なく構築するというアクロバットをやってのけられたら、面白いですね。

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