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1以下と1未満の違い(証明編)
stomachmanの回答
- stomachman
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またまたstomachmanです。 「(1＜x)と(1≦x)が同じ領域である」、ということを「普通」の数学の枠の中で意味づける方法の具体例をひとつ挙げてみます。（以下、全て「普通」の数学で言う用語を使います。） 「実数の部分集合AとBとが『同じ領域である』とは、実数から{0,1}への関数 a(x) = もし x∈A ならば0、さもなくば1 b(x) = もし x∈B ならば0、さもなくば1 がどちらもフーリエ変換可能であって、しかもフーリエ変換した結果（超関数になります）が等しいことである。」 と定義します。 （「a(x)とb(x)をそれぞれフーリエ変換し、さらに逆フーリエ変換したものが等しいことである。」と言っても良いでしょう。） すると、定理 {x| 1＜x}と{x| 1≦x}は同じ領域である は簡単に証明できます。 例えば、実数から実数への関数f(x)を{x| 1＜x}の範囲で定積分したものと、{x| 1≦x}の範囲で定積分したものは（積分が存在すれば）一致します。そういう意味で、ここで定義した「同じ領域」は実用上も意味のある概念です。 つまり、使い途によっては、「普通」の数学の範囲でも、{x| 1＜x}と{x| 1≦x}に何の違いもないことだってある。 ご質問の主旨からは、いささかずれてしまって、ご納得戴けそうにない気がするので、「自信なし」です。
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