- ベストアンサー
1未満と1以下の違い
言葉の定義で言うと1未満とは1を含まない1より小さい数であり、1以下とは1を含む1より小さい数であると理解しています。 しかし、1未満を1以外の1より小さい値を全て含むと考えると0.999....がその最大値となります。その値を3で割れば0.333....となり、これは1/3です。 再び3をかければ1になるので1未満と1以下の最大値は同値になるため1未満=1以下が言えるのではないでしょうか。 これを是とすればx<=1とx<1は同意であると考られると思うのですが、皆さんはどう思われますか。数学上の定説があればそれもご教授いただければ幸いです。
- 100Gold
- お礼率64% (681/1059)
- 数学・算数
- 回答数14
- ありがとう数17
- みんなの回答 （14）
- 専門家の回答
質問者が選んだベストアンサー
１未満の実数には最大値は存在しません。 ａ＜ｂなる２つの実数があるとき、ａ＜ｘ＜ｂなる 実数ｘが無限に存在します。 (a+b)/2 が実数である ことから明らかでしょう。この事実を実数の稠密性と いいますが、これから１未満の実数に最大値が存在 できないことは明らかと思います。 つまり、 0.999… = 1 ということです。 ですから未満と以下は同じ意味ではありません。
その他の回答 (13)
- chukanshi
- ベストアンサー率43% (186/425)
>０．９９９９・・・・は１ですよ その通りです。 「0.9999....=1」は正しい「式」です。 >数でないというのは悪い数学ですね しかし、0.99999.....というのは、どうして私には「数」には 見えません。「.....」という「無限の操作」が入っているからです。 「表現論」の問題ですが。１０進法の。 で、むしろ私には、「0.9999....」というのは、便宜上の表記であって、 厳密に表現しようとすると、 0.9999.....=（Σ(n=1 to ∞）（9×(0.1)^n）） という「式（演算）」になると思います。これは、どうしても私には「数」には 見えないのです。 例えば、 1+2=3 と書かれていて、これは正しい式で、 「1」、「2」、「3」は「数」に見えますが、 「1+2」は、「式（演算）」に見えても「数」には見えません。 全く表現論の問題なのですが。。。 これと同様に、「0.99999.....」というのは、私には「数」には 見えません。それと同値な「数」として「1」が存在するように 思えます。 >そうゆう数学は誰も支持しません そうかもしれませんね（笑）。 >単なる道楽です 私は道楽でここに書きこんでいますから（笑）。
お礼
ご回答ありがとうございます。 1以下と1未満に違いがあるとすれば、1という値の部分だけですが、1という部分って本当にあるんでしょうか。 無理数を認めると1リットルと1未満の最大のリットルは同じ値になると思いませんか？ 遠足でおやつは300円未満といわれたら299円までということになるとは思うんですけどね。お金って最小単位が決まってていいですね。
- hajime40
- ベストアンサー率38% (192/498)
回答者No.2のon-drugさんも言っておられますが、明らかに矛盾した理論ですね、これは。 ＞言葉の定義で言うと1未満とは1を含まない1より小さい数であり、1以下とは1を含む1より小さい数であると理解しています。 これは間違っていません。 ＞しかし、1未満を1以外の1より小さい値を全て含むと考えると0.999....がその最大値となります。 確かにそうなのですが、（でも、それが最大値と言えるかは疑問ですが・・・） ＞その値を3で割れば0.333....となり、これは1/3です。 ここが間違っています。 確かに0.999....を３で割れば、0.333....となりますが、 0.333....＝1/3 とはなりません。 １÷３＝0.333.... となりますし、 0.999....÷３＝0.333.... となります。 じゃあ、 １÷３＝0.999....÷３ となるか？と考えれば、なりませんね。 これでは、 １＝0.999.... となってしまします。 これはあきらかに間違っています。 厳密に言うと、 １÷３＝0.333.... で書き表した0.333....と 0.999....÷３＝0.333.... で書き表した0.333....は、同じ数字では無いと言うことです。 確かに書き表している数字は同じ0.333....です。 しかしこれは、割り切れないので便宜上0.333....書き表しているだけであって、同じ0.333....ではないのです。（見た目では同じように見えるのですが、どこまで行っても割り切れない数なのですから、同じ数であると判定することができないのです。） 100Goldさんは、ここでつまずいているようですね。 近似値として書くなら 0.333....≒1/3 ですし、 0.999....≒１ です。 ですから、厳密に、正確に言って、 0.333....＝1/3 あるいは、 0.999....＝１ となることはありません。 （ただ、小学校・中学校でおしえる初等数学では、近似値と言う概念をしっかり学習させていないので、0.333....＝1/3と書く場合がありますがね。） 言っておきますが、割り切れない数（小数）を「分数に直す」という考え方をすること自体が間違っているのです。 分数で計算したものは、最後まで分数で計算する、小数で計算したものは、最後まで小数で計算する、という約束事のようなものが数学にはあるんですよ。そうしなければ、統一性がないでしょ。数学は、もっとも統一性を重んじる学問ですから、その統一性から離れた計算をすること自体間違っているのです。（まあ、小学校の算数では、分数を小数に直しなさいとか、小数を分数に直しなさい、なんて学習がありますが、こんなことやるのは小学校だけでしょうけどね。） まあ、ご参考になさってみてください。
- nuubou
- ベストアンサー率18% (28/153)
０．９９９９・・・・は１ですよ 数でないというのは悪い数学ですね そうゆう数学は誰も支持しません 単なる道楽です
お礼
ご回答ありがとうございます。 私が数の定義をしっかりしていなかったところに問題があったようです。 失礼いたしました。
- chukanshi
- ベストアンサー率43% (186/425)
0.999999......は「数」ではありません。したがって、 １未満を１以上の１より小さい値を全て含むとかんがえても、 0.9999999....が、その「最大値」にはなりません。 ９は有限個ならんだものは１未満ですから、そのような「数」は 存在しますが、１未満の最大値というのは存在しません。 これは、実数の連続性と深くかかわっています。 （もうこの辺の説明は、最近何度もやってつかれた。。。ぶつぶつ）
お礼
皆さんいろいろご回答ありがとうございます。皆さんの回答を総合すると1=0.999...ということには一定のコンセンサスがあるようですが、1以下=一未満ということには賛成できないと言うことのようですね。今度は別の視点から1以下=1未満の証明に関して考察してみましたので、そちらもご回答いただければ幸いです。
0.999…は1未満ではありません。1です。 実数をA、Bの組に分けたとしてAを1未満の組、Bをそれ以外の組に分けます。 すると0.999…はBの組に存在するのです。それを以下のように証明します。 Bには最小値「1」が存在しますね。その場合、Aには最大値が存在してはいけません。実数をそう定義したからです。ところが、0.999…がAに属すると仮定すると、100Goldさんがおっしゃられるように0.999…はAの最大値ですね。これは実数の定義に反します。よって0.999…はBに属します。よって、0.999… = 1です。
お礼
ご回答ありがとうございます。 ここら辺の実数の定義ってなんか不思議じゃないですか？ 同じ値をもつ実数が無数に存在しているってことになりますよね。
- freeman108
- ベストアンサー率11% (18/153)
１ ／ ３ と書きましたが、１／３(三分の一)の間違いです。
- freeman108
- ベストアンサー率11% (18/153)
考え方としてわからなくもありませんが、 １ ÷ ３ ＝ ０．３３３３３３......であって、 １ ／ ３ ＝ ０．３３３３３３......とは思っていません。 表示しきれないものを表示するために切ってしまっているだけで、 ０．３３３３３３...... × ３ ＝ ０．９９９９９９...... になると思ってます。
- TrickOrTreat
- ベストアンサー率42% (53/126)
この論法だと、0.999... が 1 と等しいつまり 0.999... = 1 で 0.999.... = 1 が成り立てば１より小さな数は 0.999.... ではないこと になり、１未満 = １以下は成り立たないですよね。 0.999... = 1 が成り立つかどうかは過去の質問にあります。
お礼
なるほど、同じような内容の質問が結構あるものですね。参考になりました。ありがとうございます。
- uc078
- ベストアンサー率22% (28/127)
１ ÷ ３ × ３ ＝１（以下） ０．９９～ ÷ ３ × ３ ＝０．９９～（未満） のように、未満はあくまで未満であって、１にはならないと思います。 でも、大抵の普通の電卓で １÷３×３ をやると 0.999～になり 微妙な差がでてきます。 数値に表れない数学とでも言うのでしょうか？(^^;
- machie
- ベストアンサー率24% (26/108)
よく聞きますよね、その話。 中学の頃数学の先生も同じことを言っていました。 近似値か何かの時に出てきたかなぁ。 でもごめんなさい、結論は0.333333...×３＝１だとだけ覚えていて、あと忘れてしまいました。 奥が深い話ですよね。ごめんなさい。後の方に回答はお願いします。
- 1
- 2
関連するQ&A
- 1以下と1未満の違い(証明編)
1以下と1未満を1<xと1<=xに置き換えて考えます。 直線lを数(整数、有限小数および無限小数)として定義します。数の連続性を考えれば数を直線として考えることに異論はないと思います。 その場合、値1は直線上の一点xであると考えられます。 点xは直線上において領域を占めません(ユークリッドの定義から)。 ゆえに1<xと1<=xは直線上における同一の領域を示しているといえる。 この証明は誤っているのでしょうか。皆さんのご意見をお聞かせください。
- ベストアンサー
- 数学・算数
- x以下の双子素数の個数
素数定理から、x以下の素数の個数π(x)は(xが十分大きければ)、x/logx程度であると考える事ができます。 ここから、x自身が素数である"確率"(確率という言葉は適切ではないですが)は、1/logxと考える事ができます。 この部分には、いろいろな考え方がありますが、 例えば、x以下の自然数を取り出した時に、それが素数である確率は、π(x)/x=1/logxであり、xが十分大きければ、これをx自身が素数である"確率"と考えられるでしょう。 (x,x+2)の組が双子素数である、つまり、xとx+2が同時に素数となる"確率"は、 1/(logx)*(1/(log(x+2))≒1/(logx)^2 と考える事ができます。 すると、これを積分した、 ∫[x:2→x](1/(logx)^2))dx の値でx以下の双子素数の個数と見積もることができます。 と、考えました。ところが、 この積分で1,000,000以下の双子素数を見積もると、およそ950程度となります。(積分値を計算するソフトがないので、大雑把な値です) 一方、1,000,000以下の双子素数の個数は、1224個です。 けっこう大きな差がありますよね。1,000,000という値では小さすぎたのかな、とも思いましたが、ウィキペディアを見てみると、この辺りの話が載っていて、 x以下の双子素数の個数は、上の積分に、２Ｃをかけたもので見積もっています。 なお、Ｃ＝Π[p>2](1-1/(p-1)^2)≒0.6601ということだそうです。 実際に、この２Ｃをかけた値で、1,000,000以下の双子素数の個数を見積もってみると、およそ1250個となって、確かに、実際の値と非常に近い値となって、確かに２Ｃをかける事に意味はありそうなのですが、 いったい、このＣという値はどういう根拠がある数値なのでしょうか？ あるいは、∫[x:2→x](1/(logx)^2))dxでx以下の双子素数の個数を見積もった場合、どうして実際の数より小さくなるのでしょうか？ なお、厳密な(数学的な)議論である必要はありません。
- ベストアンサー
- 数学・算数
- 同値関係の問題について
同値関係の問題が数学の授業で出たのですが、全くできません… わかる方いたら解説お願いできないでしょうか？ (1)(m,n),(m',n')∈N×Nに対して、mn'=m'nが成立するとき、(m,n)～(m',n')とします。このようにして関係を定義したとき、これが同値関係となることを示してください。 (2)x,y∈Zに対して、x-yが12で割り切れるとき、x～yとして、関係を定義すると同値関係になります。このときの同値類をすべて求めてください。（同値類は[x]と書く） わかる方よろしくお願いします！
- ベストアンサー
- 数学・算数
- 以下の数学問題をお答えください。
答えを紛失してしまったので、お答えいただければと思いまして、質問いたしました。 (1)ある数Xの３／４から５を引いた数が、－１７になると言う。Xの値を求めよ。 (2)３枚の効果を同時に投げるとき、その３枚のうち１枚だけ表の出る確率を求めなさい。ただし、この硬貨は、いずれも表に出ることと、裏の出ることとは、同様に確からしいとする。 (3)学生１００人に得意科目についてアンケートしたところ、下のような結果になりました。 A:数学が得意である－６０人 B:英語が得意である－７０人 このとき、「英語も数学も得意だ」と答えた学生は、何人以上何人以下ですか。 以上３問になります。お時間があるようでしたら、よろしくお願い致します。
- ベストアンサー
- 数学・算数
- 数学の問題の解答の説明をお願いしますm(__)m
すみません、数学の問題で回答を見ても理解できないので、以下の問題について お尋ねいたします。 問 ０°≦Ｘ≦１８０°で定義された Ｙ＝－２sin二乗Ｘ＋２sinＸ＋１の最大値と最小値とそのときのＸの値を答えよ。 （参考書の解答）※少し省略して書いています sinＸをtとおく Ｙ＝－２t二乗＋２t＋１ ＝－２（ｔ－１／２）二乗＋３／２・・・(1) (i)t＝１／２すなわち sinＸ＝１／２→３０゜、１５０°のとき最大値３／２ ★★★ここから先の説明が分かりません★★★ (ii)sinＸ＝０または１のとき すなわち０°、９０°、１８０°のとき最小値１ 疑問な点 最大値は、(1)が上向きに凸なので、頂点が最大だと分かるのですが、 最小値のときになんで、０とか１が出てくるのかわかりません。 基礎的な知識が抜けておりますので、申し訳ありませんが、よろしく おねがいいたします。
- ベストアンサー
- 数学・算数
- 二次関数の問題。
ある問題集に、こんな問題がありました。 【x, y の間に （ｘの２乗）＋（ｙの２乗）＝１の関係があるとき、 ３ｘ＋４ｙの最大値・最小値を求めよ。】 うまく解けなかったので、ヒントを見たところ、 ____________________________ 【ｘ、ｙが （ｘの２乗）＋（ｙの２乗）＝１を満たしながら変わるとき、３ｘ＋４ｙ＝ｋという値をとる】ことと 【連立方程式 （ｘの２乗）＋（ｙの２乗）＝１ と ３ｘ＋４ｙ＝ｋ とが実数解をもつ】こととが同値であることを利用する ____________________________ というようなことが書いてありました。 なんで、この２つのことが同値なんですか？ そのことと、問題の解き方とがどう結びつくのか分かりませんでした。 数学はド素人で、ただ好きで問題集を覗いているだけなので、 基本的な質問ですみませんが、どなたか分かりやすく教えてください。
- ベストアンサー
- 数学・算数
- 最大元と極大元の定義の違いが分かりません
数学の基礎「齋藤正彦著」p22からの抜粋です。 定義 (X,≦)を順序集合,AをXの部分集合とする。 「1) aがAの元でAの全ての元xに対してx≦aが成り立つ時,aをAの最大元といい,maxAと書く,Aの全ての元xに対してa≦xが成り立つ時,aをAの最小元といい,minAと書く。最大元や最小元は存在するとは限らない,あるとすれば一つしかない。 2) aがAの元で,Aのいかなる元xに対してもa<xとならない時,aを極大元という。x<aなるAの元が存在しない時,aを極小元という。極大元や極小元は存在しない事も有るし,沢山存在する事もある」 と定義が紹介されてるのですが最大元と極大元についてのこの文意 "aがAの元でAの全ての元xに対してx≦aが成り立つ"と"aがAの元で,Aのいかなる元xに対してもa<xとならない" とは同値だと思います。 違いが分かりません。 一体,どのように違うのでしょうか?
- ベストアンサー
- 数学・算数
お礼
ご回答ありがとうございます。 この最大値が存在しないってところがポイントだとは思うんですけどね。 量で考えると1リットルと1リットルにもっとも近い最後の1という値を含まない量って同じになっちゃうような気がするんですよ。 x=1の部分の量は無限に小さい0.0000...1リットルのはずで、これは0じゃないかってね。 無限というのは本当に厄介ですね。