自作問題(図形？)です

質問

自分で考えた問題なんで、解けるかどうかも分かりません

「１辺70cmの正方形の内部(辺上含む)に、50個の点を適当にばらまく。このとき、２点間の距離がαcm以下になるような２点が必ず存在する。」
上記の主張が成り立つようなαの最小値を求めよ。

これの元ネタは、αでなく10√2 という具体的な値で、これが成り立つことを証明せよというものです。
この場合は、正方形を7×7=49個の小正方形に分けると、鳩の巣原理によって明らか、ということでした。
しかし、直感的に、これより小さな値でも成り立ちそうなので、この問題を考えました。
作ったはいいものの、私には解けそうにありません。
誰か代わりに解いてやってくれませんか？
できれば、高校レベルの知識で分かるように説明してほしいと思います。

回答No.11

stomachman · ベストアンサー

またまたstomachmanです。
No.4のlinus3030さんによるアイデアを使って、αminの上限をさらに絞り込んでみましょう。

　直径１のコインのたわら積みでぎっしり平面を埋め尽くした状態を考えます。（これが最密充填であることは自明として認めることにします。）するとコイン１個あたり、一辺１の正三角形２個分の面積、すなわち√3/2を必要とします。
　では、正方形でこの平面を切り取った時、その中にコインは幾つ入るか。
　正方形の辺や角の部分ではコインが半端に切り取られ、これらは数に入らない。だから、「コインの個数は(正方形の面積×2/√3)を越えることはない」と言えます。この事から、50個のコインを入れられる正方形の面積は、(25√3)以上なくてはならないことが分かります。

　一方、コインをどう並べても、正方形の４つの隅の部分をコインが覆うことはあり得ません。ちょっと余ってしまう。その余る部分の面積は（1-コインの面積）に等しい。だから正方形内部のうち有効に使える部分の面積は、「正方形の面積-(1-コインの面積)」です。
　ゆえに50個のコインが入れられる正方形は、
(正方形の面積)-(1-コインの面積)＞25√3
を満たさねばなりません。すなわち
(正方形の面積)＞25√3+(1-π/4)
よってその正方形の一辺は
√(25√3+(1-π/4))≒6.597
よりも大きくなくてはならない。以上から、
αmin＜70/(√(25√3+(1-π/4))-1)≒12.507
という、さらに改良されたαminの上限が得られました。

　ここから先、上限を抑えていくには、辺や角の近くでの余りの出方などを細かく詰めていく必要があるから、かなり難しいでしょう。

　一方、下限の方は、実際にパチンコ玉などを並べて四角い枠で囲んで揺すってみることで、ひょっとすると旨い配置が見つかるかも知れません。もし見つかったら、きちんと計算して正方形の大きさを出せば下限が改良できます。
　とりあえず、No.8の最後で示した配置における正方形の一辺の長さL''を頑張って計算してみました。配置はこんな感じです。
　●　●　●　●　●　●　
　　○　●　●　●　●　●
　８　●　●　●　●　●
　　○　●　●　●　●　●
　●　●　●　●　●　●　
　　○　●　●　●　●　●
　８　●　●　●　●　●　
　　○　●　●　●　●　●
8のところに縦に２個くっついたコインが入ります。これらの左側に縦に並べた４個のコインの中心を結ぶ直線と、横に一列6個並べた段の左端のコイン（○で示す。４個あります）の中心を結ぶ直線との距離をwとすると
L'' = 7h+1
L''=5x+6+w
h^2=1-((1+x)/2)^2
(h-1/2)^2+w^2=1
となり、その結果（解析的に示すのはしんどいのでお任せして、数値だけ示すと）
w≒0.932699297
x≒0.018377
h≒0.86065
L''≒7.02458
αmin≧11.6190
が得られました。

　かくて、これまで具体的に求めたαminの存在範囲は
12.507＞αmin＞11.619
となりました。1cm近い幅があり、特に上限の方はまだまだ改良の余地があります。

お礼

本当に詳しい回答ありがとうございます

回答を見ていて思ったのですが、論理式というのは使いこなせるとかなり便利みたいですね
否定の作り方なんかもきちんと定理化されているようですし
日本の高校はどうして教えないんでしょうかね

＞　直径１のコインのたわら積みでぎっしり平面を埋め尽くした状態を考えます。（これが最密充填であることは自明として認めることにします。）
＞　するとコイン１個あたり、一辺１の正三角形２個分の面積、すなわち√3/2を必要とします。

なるほどそういう理屈でしたか
一辺１の正三角形２個分の面積というのは、円に外接する正六角形の面積とも考えられますね
蜂の巣型のイメージで、私はそう解釈しています
余談ですが、昔、縦５cm横８cmの長方形に直径１cmのコインを何個入れられるかという問題があったのを思い出しました
素直に８×５＝４０個だろうと予想したのですが、蜂の巣型に詰めると実は４１個詰められるというのを知り、奇妙に感じたのを覚えています
結局のところ、コインの詰め方としては、蜂の巣型が一番効率が良いということですね
鳩の巣原理ならぬ蜂の巣原理とでも呼びましょうか(^_^;)

＞　かくて、これまで具体的に求めたαminの存在範囲は
＞　12.507＞αmin＞11.619
＞　となりました。1cm近い幅があり、特に上限の方はまだまだ改良の余地があります。

かなり絞れましたが、具体的にαmin＝～ となる１点を特定するのはあきらめた方がよさそうですね
しかし、力ずくで近似値を求めようとするなら、いくつか方法はありそうです
たとえば、実際にコインを使ってやってみるというのも一つの方法です
この場合は、棒状のものをワクにして正方形の形を維持したままどんどん大きさを小さくすれば、およその数値が分かりそうです
もっと正確を期すなら、プログラムを組んでパソコンにシミュレーションさせるという手もありますね
今度ヒマがあったらやってみようと思います

回答No.2

noname#30727

２点間の距離が全て10√2になる配置が存在するわけだから、αの最小値が10√2未満では成り立ちません。

回答No.1

hidearex

αcm“以下”になるような２点が“必ず”存在する－という問題なら
ＮＧではないかと思います。

うまく説明できませんが(^-^;)