exp 急いでます＞＜

質問

expAを求める問題で、Aは2×2行列{1　-1}
　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　{4　 5}
固有値が３で重根。でいろいろ計算してくと
ｐ＝{-2 1}
　　　{4 0}　とすると、P^1AP＝{3 1}
　　　　　　　　　　　　　　　　　　{0 3}
A^n=3^(n-1){-2n+3 -n}
　　　　　 　　{4n 3+2n}
それで、expA=を求めたんですけど、、、
答えとあいませんでした＞＜
答えはe^3{-1 -1}
　　　　　　　 {4 3} 　です。
みにくいですけどお願いします！！

回答No.6

atomicmolecule

三角化といったのはＡの左下の方が０になるように変換することです。つまり
q.A.p={3,1}　が三角化されたＡです。
{0,3}

ところで、何三角かされたのか分っていないようですがAのｎ乗を計算するときに直接やるよりも(p.q)=1を挿入してやって

A^n=AA…A
=(p.q).A.(p.q).A.(p.q)…(p.q)A(p.q)
　 =p(q.A.p)(q.A.p)…(q.A.p)q
=p△△…△q
　 =p(△^n)q

　　　　ただし（q.A.p)＝△行列

として△のｎ乗の方が計算しやすいですよね。左下隅の成分が０ですから。

これをつかって、（指数関数の定義は覚えていますね？）

exp(A)≡Σ_{n=0～∞} A^n/n!
　　　＝Σ_{n=0～∞} p.(△^n).q/n!
　＝p.(Σ_{n=0～∞} (△^n)/n!).q
　＝p.exp(△).q

△のexpを最初に計算します、ｎ無限の極限とかもp,qで挟んで元に戻す前にとります。最後にp,qでサンドイッチです。

回答No.5

ojisan7

＞expＡ=P*expJ*P^(-1)
ここからの計算わかりません

ということですが、expJの計算はできますね。ここで、JはJordan行列(Jordan細胞）
{3 1}
{0 3}
です。
yochi1025さんが、expＡを直接求めようとしたのと比較すれば、計算は簡単なはずです。Jordan標準形は行列の累乗計算を見通し良くするために考え出されたもの、と言っても過言ではありません。

回答No.4

ojisan7

せっかくJordan標準形にしたのに、Aに戻って累乗を計算しているようですが、計算の無駄のような気がします。
expＡ=P*expJ*P^(-1)で計算することをお薦めします。答えは確かに、
{-1 -1}e^3
{4 　 3}
となります。

補足

expＡ=P*expJ*P^(-1)
ここからの計算わかりません＞＜

回答No.3

atomicmolecule

三角かしたものをわざわざ元に戻すのは計算を複雑にするだけです。三角かは最後までそのままで一番最後に逆変換で戻してやるのが普通です。

あとは級数和の問題ですが

Σ_{n=0～∞}a^n/n!=e^a

Σ_{n=0～∞} n*a^n/n!
=Σ_{n=1～∞} a^n/(n-1)!
=a*Σ_{n=1～∞} a^(n-1)/(n-1)!
=a*e^a

とかで難しいところはないのでイージーミスでしょう。

補足

なんか言葉の意味がわからないものがたくさん＞＜
三角かって対角化のことですか？？まだ一年なんでわからない事だらけです。。元に戻すって？？
A^nを求めてから、expAを求めるんじゃないんですか？最後に、まとめるまとめ方がいまいちわからないんです。
何で答えのようにまとまるのか？？
たくさん質問してすいません。。

回答No.2

atomicmolecule

三角化したＡを＝Δ　と書きます。
Δ^n
=
{3^n, n 3^(n-1)}
{0 , 3^n }

Δのｎ乗はこうなりましたか？3^nの項は直ぐにわかりますね。右うわ隅は
Δ^n={3^n,a_n }
{0 , 3^n}
とおいて、Δ^(n-1)との漸化式を立てるとよいですよ。
ところでこのΔのexpを計算しておきます。
Σ_{n}(1/n!)Δ^n
=e^3{1,1}
{0,1}
こうなりましたか？

ここまで正しいなら後はまとめるだけです。pの逆行列をｑと書きますが

exp(A)
=exp(p q.A.p q)
=p.exp(q.A.p).q
=p.(Σ_{n}Δ^n/n!).q
=p.Exp(3){1,1}.q
{0,1}
=Exp(3){-1,-1}
{4, 3}

です。

回答No.1

nabla

A^nを求めるところまでは合っていますから、間違いはこの後の無限級数をとるところにあるはずです。
どういう計算をしてどういう結果になったのかを書いていただいた方が回答しやすいので、補足をお願いします。

補足

expA＝[1 0] +[1/1! (1/1!)*(-1)]+... +
[0 1] [(1/1!)*4 (1/1!)*5]

+[(1/k!)(3^k-1)(-2k+3) 1/k!(-k)*3^(k-1)] +...
[(1/k!)(4k*3^(k-1)) 1/k!(3+2k)*3^(k-1)]

=e^3[-2 -1]
[4 2 ]

ずれててすいません＞＜