公理と定義はどうちがうのでしょうか？

質問

公理とは「仮定」のことです。
「仮定」とは「仮に定めたもの」です。
「仮に定めたもの」とは「仮に定義したもの」です。
「仮に定義すること」（公理）と「定義すること」（定義）は同じなのではないのでしょうか？

定義と公理のちがいは何でしょうか？
例えば行列のかけ算は縦と横を掛けて足しますけど、
それは定義です。
しかし、それを公理と呼んではいけないのでしょうか？

また、たとえば分配法則は公理ですが、これを定義と呼んではいけないのでしょうか？

回答No.12

norelec

「公理」は「仮定」とは違います。
「仮に定めたもの」という表現は間違いです。

「公理」も「定義」も決め事という意味では同じです。
「公理」は数学の各分野における普遍的な決め事のことで
「定義」は普遍性の低い決め事です。
各分野で「公理」と呼ばれるものの数は少ないはずです。
その分野（体系）の幹となる「公理」は最初に決められるもので
後で増やすことは土台を揺るがすことになります。
定義は必要に応じていくらでも増やせます。
「定義」は有用な「定理」を導くための枝に該当します。

言い換えれば、選択する公理で異なる体系が構築できます。
『平行線の存在を肯定する公理』からユークリッド幾何学が構築され、
『平行線の存在を否定する公理』から非ユークリッド幾何学が構築されます。

注：
分配法則そのものは公理ではありません。
分配法則が成り立たない代数の体系も定義されています。
分配法則の成立・不成立は定義によります。

補足

＞分配法則の成立・不成立は定義によります。

例えば２×３＝６でなかったら分配法則は成立しません。
つまりこういうことでしょうか？
例えば数の分配法則(a(b+c)=ab+ac))は左辺から右辺を導いているだけで、その右辺の計算方法までは言及していません。（abの計算方法とacの計算方法のことです）
abの計算方法は定義なのでしょうか？
（たとえば２×３＝６というのは定義なのでしょうか？）
だとするなら行列の積が定義であることも納得できる気がします。
何故なら行列Ａと行列Ｂの積の計算方法なのですから。