マセマティカのサービスサイトの log結果の疑問について

質問

明けましておめでとうございます。
名前しか知らなかった、マセマティカ（のサービスサイト）の強力さに驚いているこのごろです。
http://integrals.wolfram.com/index.jsp

最近、∫(1/x)dx など、結論が　logとなる結果に絶対値が付いておらず、誤解を与えるのでは無いかと気になりました。
すばらしい能力の割には画龍点睛を欠くような。
これは既知のことなのでしょうか？当然のこととして扱われているのでしょうか？

みなさん、忙しいらしく？低調なので（暇な私が）くだらない質問ですが。

回答No.1

atomicmolecule · ベストアンサー

結論からいうと　1/x の積分は log(x)　でいいのです。これは複素関数まで勉強してないと説明は難しいのですが・・・

不定積分の正しい公式：∫dx/x = log(x)...　(1)
適用範囲の狭い公式　：∫dx/x = log|x|...　(2)　

と思ってください。(2)は高校生用の公式でｘの積分領域が負のときにも高校数学の範囲で正しい答えがでるようにと工夫して絶対値｜｜をつけたのです。
例えば-２から-１の積分をやってみます。どっちの公式でも正しい答えが出ることを納得してください。

先ずあいまいさのない変数変換の方法で答えの準備をしておきます。

∫_{-2}^{-1} dx/x
→-x=yと変数変換　→
∫_{2}^{1} (-dy)/(-y)
= -∫_{1}^{2} dy/y
=-[logy]_{1}^{2}
=-(log2-log1)
=-log2

次に公式(2)を使ってみると答えは

(2)＝[log|x|]_{-2}^{-1}
= log|-1|-log|-2|
=- log|2|
=- log2
正しい答えがでます。最後に公式(1)を使います

(1)＝[log(x)]_{-2}^{-1}
= log(-1)-log(-2)
= log(1e^{iπ})-log(2e^{iπ})
= log(1)+log(e^{iπ})-(log(2)+log(e^{iπ}))
= -log2

この計算ではどちらでも正しい答えがでます。ただし(1)の公式は複素数の知識を必要とします、そして(1)の方が広い範囲で使える公式なのです。

(2)使えない例として-1から＋１までの積分をやってみるといいでしょう。(2)の公式ではゼロとなるはずですが(1)の公式では-iπとなるのです。高校数学ではこの積分は発散があるので定義されてないとしておわりますが、大学数学までいけば複素積分で定義でき、そのときは(1)の公式が正しいことがわかります。

お礼

早々に、ありがとうございました。
了解しました。

回答No.2

ojisan7

Mathematicaはxを実数とは限定していないので、logxで良いと思います。高校数学でわたしもlog|x|と教わった記憶がありますが、正確にはlogxだと思います。本来、logxのxは複素数の範囲まで拡張すべきものだと思います。

２番手になってしまいましたが、せっかく書いたので登録します。

お礼

なるほど、ありがとうございました。