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確率に関する疑問(大学以上対象)
簡単な質問かもしれないんですが、ちょっと直感とかけ離れてたので 質問しました。 まず言葉の用意をさせてもらいます。 (Ω,Γ,P)を確率空間、ここでΓはΩのσ-alg. Pは確率測度とします ・XがS値確率変数であるとは、 任意のE∈B(S)に対してX^(-1)(E)∈Γが成り立つこととします。 ここでB(S)とはSのBorelsetとします ・確率変数X、Yが互いに独立であるとは、 P(X^(-1)(E))*P(Y^(-1)(F))=P(X^(-1)(E)∩Y^(-1)(F))・・・☆ が任意のE、F∈B(S)に対して成り立つこと この定義は普通の教科書で使われているのとは違うものを採用しましたが 文章が長くなるのを避けるため同値なものを採用しました ここで質問なのですが どうもこの独立の概念が直感とは違うような気がなりません 例えばサイコロの例を考えます (1)Xを、偶数のとき1奇数のとき0の値をとる確率変数 Yを、3の倍数のとき1そうでないとき0の値をとる確率変数 とするとXとYは独立になります (2)Xを、偶数のとき1奇数のとき0の値をとる確率変数 Yを、1が出たら1そうでないとき0とすると E={0},F={1}とすると☆で 左辺=P({1,3,5})P({1})=3/36 右辺=P({1,3,5}∩{1})=1/36 より独立でない (1)と(2)は対して違うとは思わないんですけど どういう違いがあるんですか?
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答え合わせみたいな質問で申し訳ないのですが正解がわからない問題なので、ここで質問させてください。 問題は正誤問題です。 (1)f(x)をある確率変数の確率密度関数とすると、常に0≦f(x)≦1である (2)2つの確率変数X,Yが同じ確率分布に従っているとき、P(X≦1)=0.3であれば、P(Y>1)=0.7である (3)確率変数Xが正規分布N(-1,5)に従うとき、P(-4<X<-3)=P(1<X<2)が成り立つ (4)確率変数Xの確率密度関数をf(x)とすると、Y=2Xの確率密度関数は2f(x)である (5)2つの確率変数XとYが独立であっても、事象{-1<x≦2}と{Y>1}が独立であるとは限らない (6)母集団の分布が正規分布であるとき、母平均μの区間推定を行って、信頼度1-αの信頼区間が[a,b]となったということは、μは a≦μ≦bを満たしていることが証明されたことを意味する (7)2つの確率変数X,Yの期待値が各々、m1,m2であるとき、E(XY)=m1*m2が成り立っていてもXとYが独立とは限らない (8)確率変数Xの期待値がmであるとき、1/Xの期待値は1/mである (9)確率変数Xの標準偏差がsであるとき、2X-4の標準偏差は2s-4である 以上です。 自分の解答では、 (1)○ (2)○ (3)○ (4)○ (5)× (6)× (7)○ (8)× (9)× となりました。 特に(6)は最後の「証明されたことを意味する」という一文が気になり×にしましたが、自信がありません・・・。 長文で申し訳ないのですが、答えを調べる術がないので答えを教えてください! よろしくお願いします!
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[問]同時確率密度関数f(x1,x2)= 12x1x2(1-x2) (0<x1<1,0<x2<1の時) 0 (その他の時) における確率変数X1とX2が独立である事を示せ。 が示せず困っています。 どのようにして示せますでしょうか? 一応,定義は下記の通り,調べてみました。 確率空間(Ω,F,P)(Fはσ集合体,(F上の関数)Pを確率とする) そしてΩからR^dへの写像を確率ベクトルという。 この確率空間(Ω,F,P)と別の集合Sがある時,Sの値をとるΩの上の確率変数Xが与えら れた時, B_X:={E⊂S;X^-1(E)∈F}とすると新しい確率空間(S,B_X,P_X)が得られる。 このP_Xを確率分布といい,特にXがX=(X1,X2)という確率ベクトルになっている時, P_XをX1,X2の同時分布という。 独立とは∀A1,A2∈Fに於いて,P(X1∈A1,X2∈A2)=P(X1∈A1)P(X2∈A2)が成り立つ事で ある。 「確率分布関数 f(x,y)において、 f1(x)=∫[-∞,∞]f(x,y) dy f2(y)=∫[-∞,∞]f(x,y) dx と定義すると、確率変数x,yが独立であることの必要十分条件は f(x,y)=f1(x)f2(y)」 と思いますので f1(x1)=∫[-∞~∞]12x1x2(1-x2)dx2 =∫[-∞~∞](12x1x2-12x1x2^2)dx2 =[6x1x2^2-4x1x2^3]^∞_-∞ f2(x2)=∫[-∞~∞]12x1x2(1-x2)dx1 =∫[-∞~∞](12x1x2-12x1x2^2)dx2 =[6x1^2x2-6x1^2x2^2]^∞_-∞ と求めましたがこれから先に進めません。どのようにすればいいのでしょうか?
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