因数分解？

質問

x^3 +x+2/x^2 +x＝　(x+1)(x^2 -x+2)/x(x+1)

と、分子のところがどのようにして(x+1)(x^2 -x+2)を導き出しているのかが分からなくて質問しました。３乗の公式に似てる気がしますが・・・　x+2で三乗のかたちには出来ませんし。　おねがいします！

回答No.3

oyaoya65 · ベストアンサー

下記URLの因数定理（剰余定理）を使って因数を見つけます。例題も載っていますので参考にしてください。

f(x)＝x^3 +x+2の場合

因数の候補は
定数項のを最高次の係数で割った項を素因数の積に分解した時のすべての因数の掛け算の組み合わせに±の符号を付けたものになります。

ここでは
定数項が２、最高次の係数が１ですので
2/1＝2＝1×2
で因数候補は±１と±２
となります。
これらの値をf(x)に代入してf(x)＝０
となるものを見つけます。
f(x)＝x^3 +x+2
の形から正の因数候補は除外されますので
f(-1)＝-1-1+2=0
f(-2)＝-8-2+2＝-8≠0
したがって、f(x)は{x-(-1)}＝(x+1)で因数分解できることになります。
x^3 +x+2＝(x+1)(x^2+ax+2)とおいて
右辺を展開して左辺と右辺の各次の係数を比較してaを決めてやれば良いですね（この方法は未定係数法といいます）。→a＝1が出てきます。

http://phaos.hp.infoseek.co.jp/preparations/remainderthm.htm

参考URL：

http://www.kwansei.ac.jp/hs/z90010/sugakua/insteiri/insteiri.htm

お礼

ありがとうございます。　因数定理でしたね。数２でやった記憶があります。結構便利なやり方ですよね。ありがとうございました！

回答No.4

dachshund_coron

あらかじめ因数に(x+1)があることがわかっていれば楽なんですがね、実際はそうはいきませんから

x^3 +x+2　に２次成分を無理やり入れます

x^3 (+x^2-x^2) +x+2 という感じです。
あとは
x^3 + x^2 -x^2 +x +2
= x^2 (x+1) - (x^2 -x -2)　・・・（A)

ここで、x^2 -x -2は２次方程式だから解の公式などで
解くと x =2,-1が解になるので
(x^2 -x -2) = (x-2)(x+1) と因数分解できます

したがって（A)は
x^2 (x+1) - (x^2 -x -2)
= x^2 (x+1) - (x-2)(x+1)　となって
=(x^2 - (x-2) ) (x+1)
=(x^2 -x +2) (x+1)

お礼

おぉ、二次成分をいれるっていうこともできますね！
このやりかた結構いいかも。ありがとうございました！

回答No.2

adaga2324

文字式の変形、テクニックが必要ですね。

この場合、分子を因数分解しようとしているのですから、くくり出す式（この場合は、x+1を見つけます。

普通、３次式は(ax+b)(cx^2+dx+e)になるのですが、ここでは、x^3の係数が１なので、a×c=1 つまり a=c=1になり、
　x^3+x+2 = (x+k)(x^2+mx+n)
右辺ですが、(x+k)=0　つまりx=-kのとき、０になるので、x=-kを左辺に代入した答えも０になります。
ですから、左辺が０になるxを見つけると、(x+k)がわかって、因数分解ができます。（ここは、筆算でもして、わり算してください）

なお、右辺のカッコをはずした式から、k×n=2がでてきますので、kはだいたいの予想がつくと思います。
この問題では、+1、-1、+2、-2

こうやって解いていくんだと思います。

また、

お礼

なるほど、こういってつぶしていく方法がありますね！ありがとうございました　ちなみに・・・ac=1 ならa=c=-1という場合も考えなくていいのでしょうか？

回答No.1

quantum2000

こういう場合は、一般的には「因数定理」を使って、因数分解するのでしょうが、

この場合は、例えば、
ｘ^3＋ｘ＋２
＝ （ｘ^3＋１）＋（ｘ＋１）
＝ （ｘ＋１）（ｘ^2－ｘ＋１）＋（ｘ＋１）
＝ （ｘ＋１）（ｘ^2－ｘ＋２）
というようにやっても、できますが・・・

お礼

おぉ、式変形だけでも出来るんですね。　ありがとうございました！