因数分解について

質問

観覧ありがとうございます。
以前も質問したんですが訳あってもう一度質問させていただきます。
４x二乗－４x＋１　の問題なんですが
答えが(２x－１)の二乗になるそうです。
これになる訳がわかりません。

例えばxの二乗＋４x＋４　は最後の４から推測して答えをだします。
この方法が使えないんでほかの方法を回答者さんからきいたのですが
いまいちわかりません。
この問題に使う公式やどういう風にとくか教えてください。

回答No.10

yuukiyuuki

＞回答９さん

彼は、完成系も、見るべき視点も
＞xの二乗＋４x＋４
を基本にして、それを手本にして、他の数式もそれで解けると思いこむ病に冒されていると思います。

＞質問者さん

間違っているとはなんでしょうか？
どこがどう間違っているか、それを説明することが必要なのではないでしょうか？

回答No.9

B-juggler

Ｎｏ．４，７　です。

えっと、Ｎｏ．８さん。

１＝１＾２　だけではないのですよ。

ここで分からなくなってしまってあるんです（だと思う）

１＝（－１）＾２　でもあるんです。

σ(・・*)の書いた、Ｎｏ．４だっけかな。

たすきがけという手法をよく見てみてください。

ネットで調べてもでてくると思うよ。

もちろんその前に、展開が分かっていないと、苦しいだけだけど。

（ａｘ＋ｂ）＾２　＝　？　補足でいいですから、

人の回答からではなく、自分で解いてみてくださいね。

もう１つ、　（ａｘ－ｂ）＾２＝？

これはＮｏ．７に書きました。　普通に掛け算できるというところです。

因数分解が分からなくて困っている。

だからそれだけ教えてもらえればいい。そう思ってあると、間違うよ。

因数分解と展開は、表と裏。　両方できないとウソです。

これはσ(・・*)からの宿題。やりたくなければやらなくてもいいけど、

そしたら、σ(・・*)ももう何も教えられない。

(=^. .^=)　ｍ（＿　＿）ｍ　(=^. .^=)

回答No.8

yuukiyuuki

めんどくさい人ですね。
前回の回答者の一人です。

４x二乗－４x＋１　
と
４x二乗－５x＋１　
がありますがどちらも因数分解できます。

前者は
（２x-１）の２乗
後者は
（４x-１）（x-１）

本当の解き方は
一番前と一番後、２つから推測するんですよ。
そのどちらかが１だと１＊１しかないので考えなくていいんですが。

一番前でも一番後でもいいのですがその数字が
１なら１＊１の一通り
２なら１＊２か、２＊１
３なら１＊３か３＊１
４なら、１＊４、２＊２、４＊１
飛んで
６なら　１＊６、２＊３、３＊２、６＊１
８なら　１＊８、２＊４、４＊２、８＊１
......と

だから８x２乗＋・・・・を因数分解しろと出てきたら
（x±α）（８x±β）か
（２x±α）（４x±β）か
（４x±α）（２x±β）か
（x±α）（８x±β）か
この４通りを推測して、総当たりで確認することが必要です。

１が含まれると楽です。
だって１＊１しかないですから。
しかしそんな問題は例外であって
　そ　の　問　題　を　手　本　に　す　る　の　が　間　違　っ　て　い　る　と　私は思いますがどうでしょうか？

お礼

回答してくれるのはありがたいですが前回の問題を間違えて解答されたのはあなただったじゃないですか。
それをそのまま解釈して勝手に納得したんは自分ですが・・・。

回答No.7

B-juggler

これはダメだ。戻った方がいいと思う。

因数分解より、展開が先。　Ｎｏ．４　です。

名乗るの忘れてました。　元代数学の非常勤講師ね。（もう教壇には立てないだろうけど）
　＃身体壊してね。

展開が分かってないと思う。

なので、かなり噛み砕いたところからいきますよ。

２×（３＋４）　＝　２×７　＝１４　これは分かるね。

カッコの中を先に計算しただけ。

では、こうしよう。　２×（３＋４）　＝　２×３　＋　２×４　＝６＋８＝１４

答えは一緒になったね。　展開とはこういうこと。

カッコの中を先に計算せずに、ばらばらの掛け算にすること。

じゃぁ、こんなのはどうだろう。

ｂ×（ｘ＋ｙ）　＝　？

カッコの中は、当然足せないね。変数が二つ。で展開。

ｂ×（ｘ＋ｙ）　＝　ｂｘ　＋　ｂｙ　になるのは分かるかな。

この逆をやっているんですよ、因数分解は。

ｂｘ＋ｂｙ＝ｂ（ｘ＋ｙ）　とね。

（ａ＋ｂ）（ｃ＋ｄ）　＝　？　

普通に展開してみて？　ａｃ＋ａｄ＋ｂｃ＋ｂｄ　になるね。

じゃぁ　逆をやるよ～。

ａｃ＋ａｄ＋ｂｃ＋ｂｄ　＝　a（ｃ＋ｄ）　＋　ｂ（ｃ＋ｄ）　；ａとｂでくくったよ。

そしたら、　（ｃ＋ｄ）が同じ　なので、（ｃ＋ｄ）でくくるよ～。

＝（ａ＋ｂ）（ｃ＋ｄ）　ほら　できた。

ちょっと絵を見て。　変数とはいえ、普通に掛け算はできる。
　＃もちろん　割り算もね♪　

何かものすごく難しく考えてないかな？

まず展開をしっかりできるようになろう。　その逆が因数分解。

そう覚えておいてください。　(=^. .^=)　ｍ（＿　＿）ｍ　(=^. .^=)

こういうところはすごく大事だから、分からないことは徹底的に聞いておいたほうがいいです。
　＃もちろん、学校で理解するのが一番だけど。

回答No.6

sanori

Ｎｏ．３の回答者です。

＞＞＞公式の話ですがa^2－２ab＋b^2＝(a－b)^2の
＞＞＞a^2－２ab＋b^2の2abが何を指してるのかわからないんですが・

前の回答で、
「ａ　が　ｙ　で、ｂ　が　１　です。」
と書きましたよね。
２ａｂ　つまり　２×ａ×ｂ　に入れてみると、
２×ｙ×１　だから　２ｙ　ですよね。
ｙ^2　－　２ｙ　＋　１　⇒　（ｙ　－　１）^2

あるいは、
前回「ａ　が　２ｘ　で、ｂ　が　１　なのでした。」と書きましたよね。
入れてみると、
２×ａ×ｂ　＝　２×２ｘ×１　＝　４ｘ
ほらね。
式の第２項と同じになったでしょう。

回答No.5

Takeshi-Gouda

＞(Ax＋B)^2＝(Ax)^2＋２×Ax×B＋B^2　ってことは(Ax＋B)^2と(Ax)^2＋２×Ax×B＋B^2が同じなのがよくわかりません。多分自分は要領がわるいんでわからないんだと思いますが。

分配法則はご存知ですか？

A * (B+C) = A*B + A*C

(A+B)(C+D) = A*C+A*D+B*C+B*D

以上の２つはご存知ですか？

これを知っているという前提で、(Ax+B)^2を展開すると、

(Ax+B)^2
＝ (Ax+B)(Ax+B)
＝　Ax×Ax + Ax×B + B×Ax + B×B　
＝　(Ax)^2 + 2×Ax×B + B^2

になることは分かりますか？

回答No.4

B-juggler

えっと、　１＝１＾２　これが見えてないだけ。

４＝２＾２　は分かったんでしょう？

じゃぁ、１は　何かの二乗じゃないか？　というのさえ気が付ければいいだけです。

　この場合は　（－１）＾２　＝１　ですね。

わからないから、理由も書かずに人に聞くと

誤解されますので、「前にこういう質問をしたのですが・・・」

のあとに、質問番号を付けておくのをお勧めします。

そうしたら、「なるほど、ここはきちんと理解できていなかったんだな」と、

こちらも理解できますから。

公式はもう上がっていますので、因数分解の一般的なやり方（たすきがけ）だけ書いておきます

(=^. .^=)　ｍ（＿　＿）ｍ　(=^. .^=)

回答No.3

sanori

こんにちは。

４ｘ^2　－　４ｘ　＋　１
と書きましょう。

この問題の場合、４ｘ^2　が何の２乗かを考えます。

４ｘ　の２乗ではありませんよね。
４ｘ　の２乗は、１６ｘ^2　です。
２ｘ　の２乗が　４ｘ^2　です。

そこで、２ｘ＝ｙ　と置いてみると、
４ｘ^2　－　４ｘ　＋　１　＝　ｙ^2　－　４ｘ　＋　１

ここで、４ｘ　は　ｙ　の２倍なので、
４ｘ^2　－　４ｘ　＋　１　＝　ｙ^2　－　２ｙ　＋　１

ｙ^2　－　２ｙ　＋　１　の因数分解は簡単ですよね。
（ｙ　－　１）^2　です。

ここで、ｙ　を　２ｘ　に戻すと、
（２ｘ　－　１）^2

＞＞＞この問題に使う公式や

使う公式は、
ａ^2　－　２ａｂ　＋　ｂ^2　＝　（ａ－ｂ）^2
です。
ａ　が　ｙ　で、ｂ　が　１　です。

つまり、
ａ　が　２ｘ　で、ｂ　が　１　なのでした。
これに気づくと、いちいち　ｙ　を使わなくとも最初から一発で
（２ｘ　－　１）^2
です。

お礼

回答ありがとうございます。
公式の話ですがa^2－２ab＋b^2＝(a－b)^2の
a^2－２ab＋b^2の2abが何を指してるのかわからないんですが・・

回答No.2

Takeshi-Gouda

個人的なやり方ですが・・・。

まず公式として

(○x＋△)^2 = (○x)^2 + 2*○x*△ + △^2

があることを常に頭に入れておきます。（^2は２乗）

次に問題の式が上記に当てはまるかを考えます。

○と△が基本的に整数であることから、○^2や△^2の平方根が整数になる必要があります。
なので、例えば

3x^2+6x+7

といった式は、3や7の平方根が整数にならないため、(○＋△)^2の形にはならないと判断します。
また、

4x^2+4x-4

といった式は、最後の項が負の数なので、(○＋△)^2の形にならないと判断します。

そうした判断の後、(○x＋△)^2の形に直すことができるかを考えます。

質問内容の中にある式と(○x)^2 + 2*○x*△ + △^2を比べると

(○x)^2　＝　4x^2
2*○x*△　＝　-4x
△^2　＝　+1

となるため、

○＝2
△＝-1

になると考えます。この時○については整数だけ考えると楽です。
○と△がどうしても出ない場合は(○x＋△)^2の形に直せないと思えばいいです。

よって答えは（2x-1）^2になるという形で求めています。

いかがでしょうか？

お礼

回答ありがとうございます。
うーん・・やぱり文だけのネットで理解するのは大変ですね。
いくつかお聞きしたいのですが
まず公式
(Ax＋B)^2＝(Ax)^2＋２×Ax×B＋B^2　で質問なんですが
　　　　　　　　　２×Ax×B＋B^2なのがわかりません。
理屈とか抜きで１＋１は１なんだみたいなのが苦手で・・・
(Ax＋B)^2＝(Ax)^2＋２×Ax×B＋B^2　ってことは(Ax＋B)^2と(Ax)^2＋２×Ax×B＋B^2が同じなのがよくわかりません。多分自分は要領がわるいんでわからないんだと思いますが。

回答No.1

Tacosan

「わかった」と書いたのはどこの誰なんだろう.

そして, どこがわからないのかを考えもしないのだろうか.

参考URL：

http://okwave.jp/qa/q6947111.html

お礼

だから訳あってとかいたんですが、
答えみてみたら回答者さんのが違ったんでもう一度質問したんですが。
それに前質問先のNO３さんが答えはあっていましたがネットの文字だけの情報じゃ理解しにくいんでもう一度質問しました
＞そして, どこがわからないのかを考えもしないのだろうか
　考えてわからなかったから質問したんですがね。
　一日中一人で考えるより
　わからないから誰かにやり方を教えてもらうほうが効率がいいんじゃないですか？

補足

補足です
間違ったとき方で間違った答えを正しいと理解していたことに気づいたのですあ締め切って締め切ってしまったのでまた質問させていただいたという意味です。

あとわすれましたが回答？ありがとうございます。