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整数問題が解けません
adinatの回答
高校レベルであればすべて求めることが出来ると思います。 まずa≦-2の場合を考えます。 もしbが-1,0,1でないならば、b^aは整数ではありません。特に絶対値1未満。 したがってb>1なら左辺は整数、右辺は非整数なので成り立ちませんし、 b<-1なら左辺の絶対値も1未満でやはり成り立ちません。 まずb=0もありえませんから、残る候補はb=±1のときだけです。 b=1ならばa=1+7で、今は除外していますが、解a=8、b=1を得ます。 b=-1ならば1/a=(-1)^a+7で、これをみたすaは存在しません。 結局a≦-2なる解は存在しません。 次にa=-1の場合は(-1)^b=1/b+7であり、これを満たすbは存在しません。 またa=0の場合も無理です。 以上よりa>0のみを考えればよいことが分かりました。 まずa=1の場合は、b=-6が解を与えます。 次にa=2の場合は2^b=b^2+7ですが、b≦0ではありえないので、b>0です。 この場合はb=5が解を与えますが、これ以外の解は存在しません。 というのは、b≧5においては、((b+1)^2+7)/b^2=1+2/b+8/b^2<2なので、 右辺は2倍も増えないですが、左辺は2倍ずつ大きくなるからです。 さてa≧3以上の場合を考えます。この場合も簡単な考察で b≦0ではありえないので、b>0です。 まずb=1の場合を考えると、最初に既に求めましたが、解a=8、b=1を得ます。 次にb=2の場合ですが、この場合はa=2のときの考察を参考にして、 a≧5ならばa^2<2^aでした、したがって、a=3,4ぐらいしか希望はありませんが、 それらはともに不可能です。したがってb≧3であることも分かります。 以下、a≧3、b≧3の場合を調べればよいことが分かりました。 a^bとb^aの大小関係を調べて見ます。そのために両辺のab乗根を取ると、 a^(1/a)、b^(1/b)になります。x^(1/x)なる関数はx=eで極大になります。 たとえばy=x^(1/x)でlog y=1/x log xなので、両辺微分して、 y'/y=-1/x^2 log x + 1/x^2=(1-log x)/x^2です。 したがって導関数が負になるのはx>eのときだから、x=eで極大です。 つまりx≧eではy=x^(1/x)は単調減少であり、a,b≧3>eなのだから、 a^b > b^a⇔ a^(1/a) > b^(1/b) ⇔ a < b です。右辺に+7があることを考慮して、3≦a<bの場合について 考えればよいことが分かりました。 さてここでb=a+kとおいてみると、a^(a+k)=(a+k)^a+7です。 そこで両辺をa^aで割ってみると、a^k=(1+k/a)^a+7/a^aとなります。 (1+k/a)^aはaを大きくしていくと単調にe^kに収束するので、 特に(1+k/a)^a<e^kです。7/a^a<1は絶対ですから、 a^k<e^k+1を満たすようなa≧3とk≧1を見つけることになります。 a≧4ならば、a>e+1ですから、k=1でそもそも成り立ちません。 さらにkが大きいと左辺の方が早く大きくなりますので、a≧4は不可能です。 よってa=3の場合のみ考えればよいですが、e=2.71…だから、 たとえばe<2.8と思っても、e^2<2.8^2=7.84であり、 3^2>8.84>e^2+1です。したがってk≧2ではありえません。 結局a=3、k=1すなわちb=4ぐらいしか無理ですが、 このときも3^4=81、4^3+7=71で成り立ちません。 以上から可能なものはa=1、b=-6かa=2、b=5かa=8、b=1の3つです。
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すばらしい解答をありがとうございました!!