ミラー指数：面間隔dを求める式について

質問

隣接する２つの原子面の面間隔dは、ミラー指数hklと格子定数の関数である。立方晶の対称性をもつ結晶では

d=a/√(h^2 + k^2 + l^2)

となる。

なぜこうなるのか証明せよといわれたのですが
どうやってすればよいでしょうか？
２次元で考えると簡単だと聞いたのですが…。

回答No.2

kz1975 · ベストアンサー

高校の知識しか使ってないと思いますが、、、基本並進ベクトルや逆格子ベクトルがまずかったですか？ミラー指数の定義を知っていれば当然知っていると思ったのですが。三平方の定理では中学生の知識ですよね。まあ良いです。一般的な証明にはならなくなりますが、平面で三平方の定理のみを使って証明してみます。

平面の場合、(hkl)面は(na/h,0)、(0,na/k)を通る直線に対応すると思います。n=0の場合とn=1の場合の直線間の距離を求めてみます。

n=1の場合の直線（直線1とします）は(a/h,0)と(0,a/k)を通る直線でn=0の場合の直線は原点を通り、直線1と平行な直線になります。2つの直線の距離は原点と直線1との距離で求められます。

平面上に原点O、点A(a/h,0)、点B(0,a/k)の3点を書いてみましょう。原点と直線ABとの距離dは原点から直線ABに下ろした垂線の足を点Hとして、OHで求められます。

三角形OABは直角三角形なので、
OA・OB=AB・OH
より、
d=OH=OA・OB/AB=(a/h・a/k)/√((a/h)^2+(a/k)^2)=a/√(h^2+k^2)
となります。

これでよいでしょうか？

書いていて気づいたのですが、これが課題やレポートのテーマであった場合、回答するのは規約違反になるんですね。

お礼

ありがとうございました。
教科書のような回答じゃなくて、まったく材料工学のことを知らないひとにも分かるように…とのことだったのでこのような質問になってしまいました。
本当にたすかります。

回答No.1

kz1975

ここでいう面間隔dとは、ミラー指数(hkl)面の面間隔d(hkl)だと思います。

立方晶では、格子定数をaとすると、(hkl)面とはnを整数として、(na/h,0,0),(0,na/k,0),(0,0,na/l,)を通る面のことを指します。この面の間隔がd(hkl)になります。a1、a2、a3を基本並進ベクトルとすると、(hkl)面上のベクトルは、パラメタ p,q,rを用いて、p*a1/h+q*a2/k+r*a3/l (ただし、p+q+r=n)と表せます。

あとは、例えばn=0の面とn=1の面の距離を求めれば良いわけですが、逆格子ベクトルG(hkl)=h*b1+k*b2+l*b3（b1、b2、b3は逆格子の基本並進ベクトル）と(hkl)面が垂直であることが示せるので(同じ(hkl)面上の任意の2点を結んだベクトルとG(hkl)の内積はゼロ)、面間隔は（n=1の面上の任意の点とn=0の面上の任意の点を結んだベクトル、例えばa1/h）と（逆格子ベクトルと平行な単位ベクトルG(hkl)/|G(hkl)|）の内積で求められることになります。

すなわち、
d(hkl)=a1/h・G(hkl)/|G(hkl)|=a/√(h^2+k^2+l^2)
となります。

これでわかるでしょうか？もっとわかり易い説明があるかもしれませんが、最も一般的な証明法かと思われます。

補足

回答ありがとうございます。
ただ、高校生にも分かるように…とのことなので、
平面（２次元として）で考えて、三平方の定理などか
ら証明することは可能なのでしょうか？