確率の問題

質問

どう解いていいのか分かりません。よろしくお願いします。

円周上をランダムに移動する3点があります。この3点が半円上に並ぶ確率を求めなさい。

回答No.9

shinobinomono

ＮＯ．８さんが正解の気がします。円周上の点は面積がないので、円周に対して点がどれほどの割合であるかは考えられません。そこで、２点の存在を中心角で考えるのがよいと思います。この場合、はじめの２点の現れる場所はランダムですから、２点が一致している場合と、２点が正反対（直径）にある場合、この２つの場合を平均すれば答えになると思います。

回答No.8

nanashisan

No.2氏のヒントで答えが出そうなので傍観していましたが、答えが変な方向へ導かれそうなのでヒントを書いときます。
まず、ランダムに置いた2点をA,Bとし、円の中心をOとします。
∠AOBが0度(つまりA=B)のとき3点が半円上に並ぶ確率は1、∠AOBが90度のとき3点が半円上に並ぶ確率は3/4、∠AOBが180度のとき3点が半円上に並ぶ確率はまた1となります。∠AOBが180～360度のときは∠AOBが0～180度と同じなので考える必要はありません。∠AOBが0～180度のどこをとるかはランダム(一様)として平均すれば答えが出ます。

回答No.7

boyonboyon

２です
「円周上をランダムに移動する」というのが、円の線上を直線移動するのではなく、テレポートするかのようにあっちこっちに現れては消える、という状態であるとして考えます。
すると、６さんがすでに書かれましたが、
半円上に１点が現れる確率は、考えるまでもなく１００％となります。
次に、２点が現れる確率も、やはり１００％となります。これは、２点が最も離れた丁度１８０度ずつ正反対の位置に現れたとしても、ぎりぎり半円上であるため、それより少しでもズレればお互いは近づくしかありませんから、必ず２点は１００％の確率で半円上にあることになるためです。
以上のことをふまえて３点の場合を考えますと、すでに現れた２点を含む半円上に３点目が現れる確率ということですから、これは「円の右半分に点が現れる確率は？」という問題と同義となるわけです。
よって５０％が正解となります。

回答No.6

hyeon

円周上にある3点のうち任意の2点は必ず半円上にあり、残りの1点が同じ半円上にある確率を求めればよいので、2分の1ではないでしょうか？

回答No.5

mackie01

こう考えてはどうでしょう。
円に内接する四角形から３点を条件に合うように選ぶには、隣り合う３つを選ぶしかありませんね。3Ｃ3/4Ｃ3ですね。五角形でも同様、六角形では４つから３つですね。これを一般化し、ｎ角形で、ｎ→∞ではどうでしょう。まだ計算していませんが、ぱっと思いついたので書きました。あとでやってみます。

回答No.4

Sbacteria

＃３の書かれている”ランダムに”という時のランダムの程度が問題になる．．．というのがこの問題を難しくしているのでしょうね。実際に、解釈の仕方で答えが変わってくると思います。
　だから、”どう解いていいのか分かりません”というあなたの考えは、ある意味正しいのです。分からない時は、何が問題なのかをじっくり考えてみましょう。
　思考実験をしてみましょう。単純に円周上の点（sin X, cos X) (0<=X<=2π)を考えます。ここで、Xに０から2πまでの適当な数を入れれば、点がきまります。X1, X2, X3 という３点が決まった時、この３点が、半円上に並ぶ（この言葉も解釈が難しいですね）というのはどういうことか？を式で示せば良いわけですね。
例えば、円の一方（半円）側にすべて集まるという解釈をしましょう。すると、この時は、X1, X2, X3を結んでできる三角形が鈍角三角形なら、半円上に並んでいると言えるでしょう（直角三角形で丁度半円）。
さてと、鈍角と言う条件をどうして数式化すれば良いか？だんだん具体化してきましたね。こうやって考えていけば良いと思いますよ。
　モンテカルロシュミレーションで解くのも面白いかもしれないですね。

回答No.3

masterasia1919

この問題だけでは解答は導けません。ランダムといってもどのようなランダムなのかがわからなければ、解答はわからないとなってしまいます。ある点が円周上にあり、その点に移動するとか、さまざまな条件がかかれたときに始めて問題となるからです。この質問ならば、解答はわかりませんです。

回答No.2

boyonboyon

点の数を２つにして、確率を考えてみてください。
そうすれば、３点の確率もすぐわかると思います。

お礼

補足で書かせていただいたのですが、2点にして考えればいいそうなのですが、実際どう考えていけばいいのでしょうか？？？お手上げ状態でして、教えていただければと思います。

回答No.1

keydaimon

もうちょっと詳しくかいてください。

補足

補足ですが、ランダムには深い意味はなく、自由に移動する、という程度の意味でした。また、問題文では「3点が移動」ですが、2点が直径上で向かい合うような感じになれば、半円になる、とのことなので、2点が向き合う確率を求めるのと同じ問題のようです。2π等使って計算するみたいなのですが、どうもわからずです。どう考えていけばいいものなのでしょうか。。。