確率の問題

質問

＜問＞
ある長さの１本の棒をランダムに選んだ場所で切る。できた２本の棒のうち長いほうを再びランダムに選んだ場所で切る。このようにしてできた３本の棒きれで三角形ができる確率は？
＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿

棒の長さをaとおいて余事象（三角形ができない確率）を考えたまではよかったのですが、答えが(a/2)log2となってしまい、置いた長さaが答えに出てきました。これは明らかに間違っていると思われるのですが、どなたか解ける方は考え方と一緒に解説をお願いします。

回答No.1

rnakamra

できれば解いた経過を書いていただければどこが間違っているのか指摘できるので書くようにしてください。

私なりの解き方を示します。
余事象ではなく、三角形ができる確率を直接計算します。

棒の長さをa,最初に切ったときの長いほうの長さをx,2回目に切ったときの長いほうの長さをyとします。
このとき、xは a/2≦x<a の一様分布であり、yは x/2≦y<x の一様分布と見ることができます。

xの確率分布関数をpをPx(x)、yの確率分布関数をPxy(y)とすると
Px(x)=2/a,Pxy(y)=2/x (A)
になります。

ここで三角形ができる条件を考えますと、3本の棒の長さはそれぞれ
a-x,y,x-yとなり、x-y≦yであることから
a-x<y+(x-y)=x → x>a/2
y<(a-x)+(x-y)=a-y → y<a/2
となります。
つまり、三角形になるときのx,yの範囲は
a/2<x<a,x/2≦y<a/2
となります。

この条件を満たす確率Pは
P=∫∫_D Px(x)Pxy(y)dxdy D={(x,y)|a/2<x<a,x/2≦y<a/2} (B)
を計算すればでます。

(B)式に(A)式を代入してy,xの順番で積分すれば答えが得られます。
計算過程でaが出てきますが最終的にはなくなります。