Lagrange Mutiplier について

質問

以下のような質問なのですが、λ、Lagrange Mutltiplier=marginal cost の関係から解くのかなと想像しているのですが、λはcapitalもしくはlaborの値段ともとれますし、コンスタントともとれるのかなと考えております。そのため、結局marginal costはどうなるのかというのが検討つきません。どこか、大きな勘違いをしているのかもしれませんが・・・考え方だけでもかまいませんので、よろしくお願いします！！！

【質問】
Consider a profit-maximizing firm that produces one output by means of two inputs capital and labor. It has been observed that if the price of the output rises, the firm uses more labor but less capital. Assume that the price of capital increases, while all other prices remain constant. What can be said about the effect on the firm's marginal cost?
(すいません、下手に翻訳すると解釈が変わるかもしれないと思い原文で書かせていただきました)

回答No.2

kakusuke · ベストアンサー

ラグランジュ関数で解く必要ある？
使ったとしても、λが生産物価格（output price）、もしくはその逆数になるだけじゃない？

詳しくは、

（１）Consider a profit-maximizing firm that produces one output by means of two inputs capital and labor.
資本と労働の２つのインプットによって一つのアウトプットを生産する利潤極大化企業を考えてください。

ｙをアウトプット、Ｋを資本、Ｌを労働とし、
ｙ＝Ｆ（Ｋ，Ｌ）…(1)
また、Ｃをコスト、ｒを資本価格（レンタルプライス）、ｗを賃金とし、
Ｃ＝ｒＫ＋ｗＬ…(2)
２式を用いてラグランジュ関数をとく。

Λ＝ｙ－λＣ…(3)
Λ＝ｆ－λ（ｒＫ＋ｗＬ）

資本について偏微分
∂Λ／∂Ｋ＝∂ｆ／∂Ｋ－λｒ＝０
∴∂ｆ／∂Ｋ＝λｒ…(4)

同様に労働について偏微分
∂Λ／∂Ｌ＝∂ｆ／∂Ｌ－λ（ｗ）＝０
∴∂ｆ／∂Ｌ＝λｗ…(5)

(3)式の両辺をλ倍すると、
λΛ＝λｙ－Ｃ
λΛを利潤π、λを生産物価格ｐに変えると
π＝ｐｙ－Ｃ
という利潤の式となる。
両辺をｐで割ると
π／ｐ＝ｙ－Ｃ／ｐ
Λ＝π／ｐ…(6)
λ＝１／ｐ…(7)

つまり、
利潤最大化条件を満たす生産関数は、
資本、労働の限界生産性は実質資本価格、実質賃金と等しい。

（２）It has been observed that if the price of the output rises, the firm uses more labor but less capital.
アウトプットの価格が上昇するなら、この企業が、より多くの労働を使用して、より少ない資本を使用するのが観測されました。

条件の追加。
∂Ｌ／∂ｐ＞０…(8)
∂Ｋ／∂ｐ＜０…(9)

（３）Assume that the price of capital increases, while all other prices remain constant.
他のすべての価格が一定のまま資本の供給価格が上がると仮定してください。

ｒで偏微分しろってことですな。

（４）What can be said about the effect on the firm's marginal cost?
この企業の限界費用への効果に関して何を言うことができますか？

Ｃをｙで微分したものをさらにｒで偏微分したらどうなる？ってことですね。

ここで、限界費用をＸとして、
Ｘ＝ｄＣ／ｄｙ
∂（ｄｙ）／∂ｒ＞０
上記、および(8)、(9)より
∴∂Ｘ／∂ｒは∂Ｌ／∂ｐ－∂Ｋ／∂ｐの符号と等しくなる。
なので
生産物価格の上昇に伴う労働の増加量が資本の減少量を上回る場合、
他のすべての価格が一定のまま資本の供給価格が上がると、限界費用は上昇する。
また、
生産物価格の上昇に伴う労働の増加量が資本の減少量を下回る場合、
他のすべての価格が一定のまま資本の供給価格が上がると、限界費用は下降する。

つ～感じでどうでしょう？

お礼

お礼が遅くなってすいません。
なるほど、このようにして考えるのですね。
詳細に回答いただき、ありがとうございます！！！
ものすごい参考になりました！！！

回答No.1

k_taka85

C=rK+wL,y=F(K,L)として最小化問題を解けばλはシャドープライスのようなもの(λ=dc/dy)になるのでど限界費用に対する効果がわかるのではないのでしょうか？L=rK+wL+λ(y-F(K,L))ちなみに出題は何ですか？

お礼

お礼が遅くなってすいません。
そのような考え方もあるのですね。
出題は、おそらく今通っている学校の
先生が作成されたものかと思われまして、
質問中の英文がそれに当たります。