log-logの補間式

質問

換算係数などがデータとして与えられている際に、
その各データの間の値を計算する式で、補間式
というのがあるらしいのですが、どのように
計算すればいいのでしょうか？

例えば、放射線の吸収線量－線量当量の換算係数で、
空気カーマが１グレイである場合の線量当量が
下記の通り与えられている場合、ガンマ線の
エネルギー1.25MeVに対応する実効線量はどのように
求めたらよいのでしょうか？

ガンマ線のエネルギー1.0(MeV)・実効線量1.010(Sv)
ガンマ線のエネルギー2.0(MeV)・実効線量1.003(Sv)

回答No.1

stomachman · ベストアンサー

エネルギーと実効線量の関係については忘れちゃったので、とりあえず一般論のみ。

一般に、何の智恵もなしに
(xi, yi) i=1,2,...,N
が分かっているときにxにおけるyを求めようとするときは多項式近似をやります。
つまりこれらの与えられた点を通る(N-1)次式を作って、これにxを代入するんですね。データがほんとに２カ所しかない（N=2）場合なら直線近似をやるということになります。つまり
yi = a xi + b (i=1,2)
という連立方程式を解いて、a,bを決めれば
y = a x + b
で近似値が出ます。答は
y = y1(x-x2)/(x1-x2)+y2(x-x1)/(x2-x1)
です。
N=3なら２次式になって、
y = y1(x-x2)(x-x3) /[(x1-x2)(x1-x3)]+
y2(x-x1)(x-x3) /[(x2-x1)(x2-x3)]+
y3(x-x1)(x-x2) /[(x3-x1)(x3-x2)]
N=4なら3次式になって、
y = y1(x-x2)(x-x3)(x-x4) /[(x1-x2)(x1-x3)(x1-x4)]+
y2(x-x1)(x-x3)(x-x4) /[(x2-x1)(x2-x3)(x2-x4)]+
y3(x-x1)(x-x2)(x-x4) /[(x3-x1)(x3-x2)(x3-x4)]+
y4(x-x1)(x-x2)(x-x3) /[(x4-x1)(x4-x2)(x4-x3)]
規則性が分かりますか？ x=x1, x2, x3,...を代入するとどうなるか、自分で検算してみると仕組みが理解しやすいですよ。

もうちょっと智恵があって、
y = f(x)
というような理論式が分かっている場合には あてはめ（model fitting）をやります。
たとえば、
f(x) = a exp[bx]　(exp[]は指数関数、a,bは未知の係数です）
というのなら、
この例では N=2が未知の係数の個数と同じだから、単に連立方程式
y1 = a exp[b x1]
y2 = a exp[b x2]
を解いてa, bを決めることになります。この例では両辺の対数をとって、
ln(y1) = ln(a) + b x1
ln(y2) = ln(a) + b x2
とすれば、ただの２元連立一次方程式ですね。

一般にはNが未知の係数の数より多いので、
yi = f(xi) ＋Ei (i=1,2,....,N)
という連立方程式を考え、誤差Eiの二乗和
S = E1^2 + .... + EN^2
が最小になるように未知の係数を決定するのです。これは最小二乗法(least square method)と言います。

最小二乗法についての良い教科書は　中川・小柳「最小二乗法による実験データ解析」 東京大学出版会 1982 です。

この他にもスプライン補間法というのがあります。また、こういった話全般は、「近似理論」と呼ばれることがあります。

お礼

詳細にわたってのご説明本当にありがとうございます。
大変よくわかりました。
今回は一番最初の直線近似で解決できそうです。

回答No.2

hiroshi0405

まず、x={log(1.25)-log(1.0)}/{log(2.0)-log(1.0)}*log(1.003)+{log(1.25)-log(2.0)}/{log(1.0)-log(2.0)}*log(1.003) としてｘを求めて、
1.25MeVの実効線量を10^xとして求めます。
基本的な考え方として、対数グラフ上ではほぼ直線とみなすことができるので、そのグラフの線分上の内分点として求める、ということです。
放射線に詳しい訳ではないですが、少々かじったもので。

お礼

実際の数値を用いてのご説明ありがとうございます。
直線近似のlog版といったところでしょうか。