平面応力状態でなぜz軸応力がゼロか？

質問

「板の厚さが薄い場合z軸方向の応力は近似的に0とみなしてよく、この状態を平面応力という」と教科書には書かれてありますが、なぜ厚さが薄いと厚さ方向の応力を0とみなしてよいのでしょうか？
どうも直感的に厚さと応力の大小がつながりません。
どなたか教えていただけないでしょうか。

回答No.1

k_riv · ベストアンサー

ここで言う平面応力というのは，応力度（σ）のことです。
以下，説明のために詳細を無視して，

x，ｙ方向の長さに比べて，ｚ方向の厚さが十分に小さい場合，例えば，各方向の長さが，Lx=Ly=1000，Lz=t=1の板で，各方向に同じ外力F=1000が作用する場合の各辺の応力度は，
σx=F/A=F/(Lx・t)=1000/(1000x1)=1
σy=F/A=F/(Ly・t)=1000/(1000x1)=1
σz=F/A=F/(Lx・Ly)=1000/(1000x1000)=0.001
→σx=σy＞＞σz
となり，ｚ方向のσzが無視できる状態を仮定できます。
ここで，工学的な仮定をする場合，「高次の部分を無視して」というのと同じ発想で，「（σx，σy）に比べて，明らかに小さい（σz）を無視する」ということです。
逆に言えば，板の場合の様に，ｚ方向に生じる応力度を無視できる形状のみに適用できる仮定が，平面応力状態です。

因みに，Z方向に十分に長い物体（Lz>>Lx，Lz>>Ly)のごく一部分の厚み（t=1)と取り出して，上記と同じものを仮定したとき，この(t=1)の部分は，十分に厚いい部分によってサンドイッチになっているので，変形を拘束されます。つまり，Z方向のひずみが拘束された状態（εz=0)を仮定できます。この状態が，平面ひずみ状態です。

つまり，もともと厚みの薄いものに適用するのが，平面応力状態，逆に厚いものの一部を薄く切り取ったものが，平面ひずみ状態です。