ハロゲンヒーターの温度（距離との関係）

質問

棒状のハロゲンヒーターがあります。ヒーターから遠ざかるに従って温度が下がりますが，距離との関係はどのように考えればよいのでしょうか。どなたか教えてください。

回答No.3

stomachman

stomachman　毎度のことながらチョンボしました。
siegmund先生の仰るとおり、傾きを入れないといけません。
どおも、すいません。

回答No.2

siegmund

物理屋の siegmund です．

問題の解釈に関しては stomachman さんと同意見ですが，
stomachman さんのご回答には面の傾きに関する考察が抜けているようです．

　　　　　　　　＼
　　　　　　　　　＼
　　　　　　　───Ｐ─── 受ける面 dS
　　　　　　　　　／・＼
　　　　　　　　／θ・　＼ 実効面積 dS cosθ
　　　　　　　／　　ｒ
　　　　　　／　　　・　
　　　──Ａ────Ｏ───────ｘ軸　線状ヒーター
　　-L　　　　　　　　　　　　　　　+L

簡単のため，放射を受ける面と線状ヒーターが平行だとします．
線状ヒーターのＡ点からの放射を微小面 dS が受けるとして，
dS 全部が有効に働くわけではなく，放射を受ける実効面積は上図からわかりますように
dS cosθ です．
stomahcman さんの式にはこの cosθ(に相当する)因子が抜けています．

(1)　　∫∫∫(1/(x^2+(y-h)^2+z^2)) dhdxdy
で修正するなら，面積要素 dxdy の単位法線ベクトルのｎ(ベクトル量です)
とベクトル AP を単位ベクトル化したものとの内積をつけて
(2)　　∫∫∫{1/(x^2+(y-h)^2+z^2)}^{3/2} (AP・ｎ) dhdxdy
とすればよろしい．

(2)は別に面が線状ヒーターと平行でなくても何でも使えます．
ただし，面の裏側のように直接ヒーターを見込めない部分は積分から
除かないといけません．

具体的に上の例で線状ヒーターに平行な微小面 dS が受ける放射を計算してみましょう．
ヒーターの長さを 2L，
簡単のため微小面はヒーターの中点からｒだけ離れたところにあるとします．
ヒーターに沿ってｘ軸を取れば，dx 部分からの dS 面への放射の寄与 dR は
(3)　　dR = C dx {1/(x^2+r^2)} cosθ = Cr dx {1/(x^2+r^2)}^{3/2}
ですから(C はヒーターの単位長さからの放射強度)，
これを -L から L まで積分して
(4)　　R = 2C {L/r√(r^2+L^2)
になります．
L >> r なら
(5)　　R = 2C/r
L << r なら
(6)　　R = 2CL/r^2
になります．
(6)は 1/r^2 の依存性で点からの放射と同じ r 依存性ですが，
それは有限の長さの線を十分遠くから見ると点にしか見えないことを意味しています．
係数もちょうど全体の放射強度 2CL になっています．

この問題の計算は，本質的に静電気学で直線状電荷の作る電場の問題と同じです．

なお，放射強度の C はヒーターの絶対温度Ｔの４乗に比例することが知られています
(シュテファン－ボルツマンの法則)．

お礼

具体的な例を挙げていただいて大変助かりました。ありがとうございました。

回答No.1

stomachman

点状の発熱体から遠赤外線（つまり光）が出ているのを点で受ける場合、受ける放射は距離の２乗に反比例する。受けた放射と温度との関係は、要するに放射のエネルギーが熱エネルギーに変換される訳ですから、受けるものの比熱によって違ってきます。
でもご質問では、値よりも、発熱体が線状である場合の距離との関係が重点のようなので、そのことだけ検討しましょう。

有限の長さHの線状の発熱体だったら、これを長さΔhの発熱体がN個並んでいる(NΔh = H)ものと考え、さらにそれぞれの発熱体は点だと考えて、個々の点から来る放射を合計すれば良い。積分です。
例えば発熱体が {<0,h,0>|-H/2≦h≦H/2}にあり, 受ける点が<0,0,z>であるとき、
∫(1/(h^2+z^2)) dh
ここに∫dhは-H/2≦h≦H/2の範囲の定積分です。

点状の発熱体の放射を有限の大きさの面で受けるのなら、面を小さな面積の正方形 ΔxΔy に分けて、それぞれを点とみなして、受ける放射を求め、これを合計すればよい。だから積分。
ご質問の条件があまり明確でないので、受けた面の中での熱伝導や、その面が再び熱を放射することはこの際無視しましょう。つまり熱源から十分遠くに置いた場合を考える。そして面全体としてどれだけ放射を受けるか、だけを問題にする。

例えば発熱体が {<0,h,0>|-H/2≦h≦H/2}にあり, 受ける面が{<x,y,z>|<x,y>∈S (Sはある平面図形)｝であるとき、
∫∫∫(1/(x^2+(y-h)^2+z^2)) dhdxdy
ここに∫dhは-H/2≦h≦H/2の範囲の定積分、∫∫dxdyは<x,y>∈Sの範囲の定積分です。

お礼

数式の意味がわからず、返事が遅くなりました。ありがとうございました。